北交大2011-2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案.doc
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2011-2012学年第二学期概率论与数理统计学期末考试试卷(A卷)答案 Page 8 of 8 北 京 交 通 大 学 2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷) 参 考 答 案 一.(本题满分8分) 在某个社区,60%的家庭拥有汽车,30%的家庭拥有房产,而20%的家庭既有汽车又有房产.现随机地选取一个家庭,求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率. 解: 设“任取一个家庭拥有汽车”,“任取一个家庭拥有房产”.由题设得 ,,. 因此有 ; . 所求概率为 . 二.(本题满分8分) 假设一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布.现有一种预防感冒的新药,它对于22%的人来讲,可将上面的参数降为(称为疗效显著);对37%的人来讲,可将上面的参数降为(称为疗效一般);而对于其余的人来讲则是无效的.现有一人服用此药一年,在这一年中,他患了2次感冒,求此药对他是“疗效显著”概率有多大? 解: 设,,, . 由题设,可知如果事件发生,则服从参数为的Poisson分布;如果事件发生,则服从参数为的Poisson分布;如果事件发生,则服从参数为的Poisson分布.因此,由Bayes公式,我们有 . 三.(本题满分8分) 某人住家附近有一个公交车站,他每天上班时在该站等车的时间(单位:分钟)服从的指数分布,如果他候车时间超过分钟,他就改为步行上班.求他一周天上班时间中至少有天需要步行的概率. 解: 的密度函数为 . 设“候车时间超过5分钟”,则 . 设:一周5天中他需要步行上班的天数.则,因此所求概率为 . 四.(本题满分8分) 设随机变量的密度函数为 . ⑴ 求常数;⑵ 求的分布函数. 解: ⑴ 由密度函数的性质,得 , 解方程,得. ⑵ 当时,; 当时,; 当时,. 综上所述,随机变量的分布函数为 . 五.(本题满分8分) 设个随机变量相互独立,都服从区间上的均匀分布,令 , ⑴ 求随机变量的密度函数;⑵ 求数学期望. 解: ⑴ 随机变量的密度函数为 ,分布函数为 . 随机变量的密度函数为 . ⑵ . 六.(本题满分8分) 设二维随机变量的联合密度函数为 ⑴ 求随机变量的边际密度函数;(5分)⑵ 求条件密度函数.(3分) 解: 当,或者时,; 当时, 所以,随机变量的边际密度函数为 . 当时,,因此当时,关于的条件密度函数为 即当时,条件密度函数为 . 七.(本题满分8分) 设随机变量与相互独立,而且都服从正态分布.再令,,其中与是不全为零的常数,求随机变量与的协方差与相关系数. 解: 由于随机变量与都服从正态分布,所以 ,. ; . 再由于随机变量与相互独立,故有 , , , 所以,. 八.(本题满分8分) 某药厂断言,该厂生产的某种药品对治愈一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查个服用此药品的病人,如果其中多于人治愈,就接受这一断言;否则就拒绝这一断言.试用中心极限定理计算,⑴ 如果实际上对这种疾病的治愈率确为,问拒绝这一断言的概率是多少?⑵ 如果实际上对这种疾病的治愈率为,问接受这一断言的概率是多少? (附,标准正态分布的分布函数的某些数值: 解: 设:100位服用此药品的病人中治愈此病的人数,则. ⑴ 当时, . ⑵ 当时, . 九.(本题满分8分) 设总体,是取自总体中的一个样本,令 , , .计算统计量的分布(不需求出的密度函数,只需指出所服从的分布及其参数). 解: 由题设可知,,, 所以有 . 因此有 . 又由,得. 因此由分布的构造,得 . 十.(本题满分8分) 设总体服从参数为的几何分布,其分布律为 . 其中是未知参数,.是取自该总体中的一个样本.试求参数的极大似然估计量. 解: 似然函数为 所以,. 所以,,解方程,得. 因此的极大似然估计量为. 十一.(本题满分10分) ⑴ 设总体等可能地取值,,,,,其中是未知的正整数.是取自该总体中的一个样本.试求的极大似然估计量.(7分) ⑵ 某单位的自行车棚内存放了辆自行车,其编号分别为1,2,3,…,,假定职工从车棚中取出自行车是等可能的.某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为 12, 203, 23, 7, 239, 45, 73, 189, 95, 112, 73, 159, 试求在上述样本观测值下,的极大似然估计值.(3分) 解: ⑴ 总体的分布列为 , . 所以似然函数为 , . 当越小时,似然函数越大;另一方面,还要满足:,即. 所以,的最大似然估计量为. ⑵ 由上面的所求,可知的最大似然估计值为. 十二.(本题满分10分) 三个朋友去喝咖啡,他们决定用如下的方式付账:每人各掷一枚均匀的硬币,如果某人掷出的结果与其余两人的不一样,则由该人付账;如果三人掷出的结果都一样,则重新掷下去,直到确定了由谁付账时为止.求:⑴ 抛掷硬币次数的数学期望;(5分)⑵ 进行了3次还没确定付账人的概率.(5分) 解: ⑴ 的取值为.并且 , . 即随机变量服从参数的几何分布,因此. ⑵ . 第 8 页 共 8 页- 配套讲稿:
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