1.2.1-函数概念.doc

§1.2.1 函数的概念
教学目标
1、 知识与技能：
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间
的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域；
（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；
3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
教学重点：
1.映射,函数的概念;
2.函数定义域,值域的求解.
教学难点：
1.概念的理解;
2.函数定义域,值域的求解.
教学过程：
一、复习集合的相关概念以及初中对函数的认识
二、讲授新课
(一)映射
1.映射:一般地,设是两个非空集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任何一个元素,在集合中都又唯一的元素和他对应,那么这样的对应(包括集合以及到的对应法则)叫做集合到集合的映射,记作,其中与中的元素对应的中的元素叫做的象,叫做的原象().
2.映射的特点:
(1)“到”:映射的方向性.
(2)“任一”:就是集合中任何一个元素,集合中都有元素和它对应即存在性.
(3)“唯一”:对于中的元素,中都有唯一的元素和它对对应即唯一性.
(4)“在集合中”:也就是说中元素的对应元素必然在集合中即封闭性.
3.一一映射:设是两个集合,是集合到集合的映射,如果在这个映射下,对于集合中的不同元素,在集合中有不同的象,而且中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做到的一一映射.
(二)函数
1.函数:一般地,设是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系,使得对于集合中的任意一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数.记作:.其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域,与的值相对应的的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.
2.几点注意:
(1)函数是一种特殊的映射;
(2)函数的三要素:定义域,值域,对应法则;(确定函数只需确定定义域和对应法则)
(3)集合均为非空数集;
(4)定义域,值域
3.求解函数定义域的基本方法:
函数的定义域是使得函数有意义的自变量的取值构成的集合,求解中要注意以下几条:
(1)分式中分母不为;
(2)偶次根式中的被开方式大于等于;
(3)中的底不为;
(4)应用题应考虑自变量的实际意义;
(5)如果式由个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使每部分十字都由意义的实数集合.
4.求解函数值域的基本方法:
在求解函数值域之前,必须先确定函数的定义域,然后再按下列方法进行求解.
(1)直接法:利用常见函数的值域来求解;
(2)换元法:形如这样的无理函数值域问题;
(3)配方法:形如的函数值域问题,但求解过程中要注意的范围;
(4)判别式法:判别式法一般用于分式函数,其分子或分母中最高为二次式且至少有一个为二次式,解题中要注意二次项系数是否为的讨论及函数的定义域;
(5)分段函数:确定每一段函数的值域,作后取并集;
(6)图象法:利用常见函数的图象来确定值域;
(7)变量分离法:形如可化为,在利用反比例函数的图象进行求解.
5.区间的概念:
------闭区间
------左闭右开区间
------左开右闭区间
------开区间

三、典例剖析
例1 以下给出的对应是不是从集合到的映射?
(1)集合,对应关系:数轴上的点与它所代表的实数对应;
(2)集合,对应关系:平面直角坐标系中的点与它的坐标对应;
(3)集合,对应关系:每一个三角形对应它的内切圆;
(4)集合,对应关系:每一个班级都对应班级的学生.
解: (1) (2) (3)是映射,(4)不是映射.

例2 (1)在映射下的象是,则在下的原象是______;
(2)已知是从集合到的一个映射,则中的元素在中的原象是__________;
(3)已知,则从到的映射有几个?
解: (1)
(2)
(3)四个,包括

例3 下列函数中哪个与函数表示同一个函数?
(1); (2); (3); (4).
解: 只有(2)是,其他的均不是.从定义域以及对应法则两方面综合考虑.

例4 已知函数,
(1)求函数的定义域;
(2)求的值;
(3)当时,求的值.
解: 略

例5 求下列函数的定义域:
(1); (2);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8)

解: (1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)

例6 求下列函数的定义域:
(1)已知的定义域为,求函数的定义域;
(2)已知的定义域为,求函数以及函数的定义域;
(3)已知函数的定义域为,求函数的定义域;
(4)已知函数的定义域为,求的定义域.
解: (1) (2)均为
(3) (4)

例7 (1)已知,求,;
(2)已知,求.
解: (1)
(2)

例8 求下列函数的值域:
(1) (2)()
(3)() (4)
(5) (6)
解: (1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
例9 已知的值域为,试求的值域.
解: 由得
令
所以
由
所以

例10 求下列函数的值域:
(1)
(2)
(3)
解: (1)

借助图象可知(图象在黑板上作出)
(2)借助函数图象可知(图象在黑板上作出)
(3)函数的定义域为
由
可知表示轴上的点到点的距离之和.
利用几何性质可以知道
所以

四、课堂小结：
1、从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；
2、初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念。

五、课后作业：
1、课本P28 习题1．2（A组） 第1—7题 （B组）第1题
2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。

六、课后反思：
1、对函数定义的引入首先从初中与高中数学中对函数定义的比较，让学生能从初中的描述性概念忙，把函数看成变量间的依赖关系到高中用集合与对应的语言定义函数，从而达到函数概念的提升；
2、用课本教，而非教课本，充分利用好课本中函数概念的背景教学
3、充分发挥函数图象的集合直观作用，加强数形结合思想的培养，让学生做图观察图像充分认识函数概念的整体性。
七、板书设计：
§1.2.1 函数的概念
一、复习
二、讲授新课
(一)映射
(二)函数
三、典例剖析
例1、 同步练习
例2、 同步练习
例3、 同步练习
例4、 同步练习
例5、 同步练习
四、课堂小结

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