函数与映射概念理解.doc
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1、玩转函数第一招 第1招:函数与映射概念的理解【知识点理解】映射.映射: AB的概念。对于两个集合A,B如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应(包括A、B及f)叫做从集合A到集合B的映射.记作:f:AB.1A 2345 B65 B1A 23465 B5 B1A 2345 B61A 23465 B f f f f (1) (2) (3) (4)在以上的四种对应关系中,(1)(3)不是映射,(2)(4)是映射.对于映射这个概念,应明确以下几点:映射中的两个集合A和B可以是数集,点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合.映射是有方向的,A到B的映
2、射与B到A的映射往往是不相同的.映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象,而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象,也就是由象组成的集合CB. 映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象,即映射只能是“多对一”或“一对一”,不能是“一对多”.一 一映射:设A,B是两个集合,f:AB是从集合A到集合B的映射,如果在这个映射的作用下,对于集合A中的不同的元素,在集合B中有不同的象,而且B中每一元素都有原象,那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.一一映射既是一对一又是B无余的映射.在理解映射概
3、念时要注意:A中元素必须都有象且唯一;B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。总结:取元任意性,成象唯一性。【精准训练】(1)设是集合到的映射,下列说法正确的是A、中每一个元素在中必有象 B、中每一个元素在中必有原象C、中每一个元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合(答:A);(2)、若从集合A到集合B的映射f满足B中的任何一个元素在A中都有原象,则称映射f为从集合A到集合B的满射,现集合A中有3个元素,集合B中有2个元素,则从集合A到集合B的满射f的个数是: A、5 B、6 C、8 D、9(答:B)(3)点在映射的作用下的象是,则在作用下点的原象为点_(答:(2,1);(4)a
4、、b为实数,集合表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则= A、1 B、0 C、1 D、1(5)若,则到的映射有 个,到的映射有 个,到的函数有 个(答:81,64,81);(6)设集合,映射满足条件“对任意的,是奇数”,这样的映射有_个(答:12);(7)设是集合A到集合B的映射,若B=1,2,则一定是_(答:或1).(8)、已知集合,则满足条件的映射的个数是( )(A)2 (B)4 (C)5 (D)7(9)、从集合到的映射中满足条件个数是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6(10)、已知集合,在 的映射中满足条件,个数是( )(11)、A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,
5、从集合A到B的映射中满足f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)的映射有( )A、27 B、9 C、21 D、12解:(1)当一个不等号也没有时,(即与B中的一个元素对应),则f有C个(2)有一个不等号时的映射(即与B中的两个元素对应),f有CC=12个(3)有二个不等号的映射,f有CC=6个。所以共有3+12+6=21个,答案选C。(12)、已知映射,其中集合,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的,在B中和它对应的元素为,则集合B的真子集个数是。(13)、设集合, 是映射,且满足条件,这样的从自身的映射个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(14)、已知集合,则满足条件
6、的映射的个数是(A)1 (B)5 (C)7 (D)10(15)、从任何一个正整数n出发,若n是偶数就除以2,若n是奇数就乘3再加1,如此继续下去,现在你从正整数3出发,按以上的操作,你最终得到的数不可能是 A,10 B,4 C,2 D,1(16)、已知集合,则满足条件:对每一个是偶数的映射的个数是(A)4 (B)7 (C)12 (D)非上述结果(17)、 由定义映射:,则的象是( )A 、 B、 C 、 D 、 (18)、定义运算,则,按照,称点(x,y)映到点(x,y)的一次变换。把直线y=kx上的各点映到这点本身,而把直线y=mx上的各点映到这点关于原点的对称点。这时,k= m= p= q
7、= 24,1,3,3,-2(19)设M平面内的点(a,b),Nf(x)|f(x)acos2x+bsin2x,给出M到N的映射f:(a,b)f(x)acos2xbsin2x,则点(1,)的象f(x)的最小正周期为A B2 C D 函数:1函数定义a:传统(古典)定义:如果在某变化过程中,有两个变量x,y,并且对于x在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则,y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数.x叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,和x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. b: 近代(映射)定义:设A,B都是解空的数的集合,f是从A到B的一个对应法则,那么
8、A到B的映射f:AB叫做A到B的函数.记作y=f(x),其中xA,yB. 原象的集合A叫做函数f(x)的定义域。 注:(1)两种定义的比较: 相同点:1实质一致 2定义域,值域意义一致 3对应法则一致不同点:1传统定义从运动变化观点出发,对函数的描述直观,具体生动. 2近代定义从集合映射观点出发,描述更广泛,更具有一般性. (2)对函数定义的更深层次的思考: 映射与函数的关系:函数是一种特殊的映射f:AB,其特殊性表现为集合A,B均为非空的数集.函数: AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点,但与轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。
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