指数与指数幂的运算优秀教案.doc

2.1.1 指数与指数幂的运算（2课时）
第一课时 根式
教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；
2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；
3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质
教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解
教学方法：学导式
教学过程：
（I）复习回顾
引例：填空
（1）； a0=1（a；
(2) (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z)
（3）； -；
（4）；
（II）讲授新课
1.引入：
（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为可看作,所以可以归入性质；又因为可看作，所以可以归入性质(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如：
22=4 ，（-2）2=4 2，-2叫4的平方根
23=8 2叫8的立方根；（-2）3=-8 -2叫-8的立方根
25=32 2叫32的5次方根 … 2n=a 2叫a的n次方根
分析：若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：
2.n次方根的定义：（板书）
一般地，如果，那么x叫做a的n次方根（ th root）,其中，且。
问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？是否正确？
分析过程：
例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a6的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）
解：因为33=27，所以3是27的3次方根；因为=-32，所以-2是-32的5次方根；
因为，所以a2是a6的3次方根。
结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为。
从而有：，，
例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。
解：因为，，所以2和-2是16的4次方根；
因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。
结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：
其中表示a的正的n次方根，表示a的负的n次方根。
例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。
解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0n=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。
结论3：0的n次方根是0，记作当a=0时也有意义。
这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：
3 n次方根的性质：（板书）
其中 叫根式，n叫根指数，a叫被
开方数。
注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。
4.根式运算性质：（板书）
①，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。
问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？
例4：求， ， ，
由所得结果，可有：（板书）
②
性质的推导如下：
性质①推导过程：
当n为奇数时，
当n为偶数时，
综上所述，可知：
性质②推导过程：
当n为奇数时，由n次方根定义得：
当n为偶数时，由n次方根定义得：
则
综上所述：
注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。
（III）例题讲解
例1．求下列各式的值：
（4）（a>b）
注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。
（III）课堂练习：求下列各式的值
(1) (2) (3) (4)
（IV）课时小结
通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。
（V）课后作业
1、书面作业：
a.求下列各式的值

b.书P82习题2.1 A组题第1题。
2、预习作业：
a.预习内容：课本P59—P62。
b.预习提纲：
（1）根式与分数指数幂有何关系？
（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

第二课时 分数指数幂
教学目标：
(一)教学知识点
1.分数指数幂的概念.
2.有理指数幂的运算性质.
( 二)能力训练要求
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
(三)德育渗透目标
培养学生用联系观点看问题.
教学重点：
1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教学难点：
对分数指数幂概念的理解.
1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
教学过程：
（Ⅰ）.复习回顾
［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.
整数指数幂运算性质
(1)am·an=am+n(m,n∈Z) 根式运算性质
(2)(am)n=am·n(m,n∈Z)
(3)(a·b)n=an·bn(n∈Z)
［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a＞0，m，n是分数时也成立.
(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备.)
［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.
接下来，我们来看几个例子.
①
②
③
④

例子：当a＞0时

［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
（Ⅱ）.讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
(1) (a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.

2.规定(板书)

［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
(1)ar·as=ar+s (a＞0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=ar·s (a＞0,r,s∈Q)
(3)(a·b)r=ar·br (a＞0,b＞0,r∈Q)

3.有理指数幂的运算性质(板书)

［师］说明：若a＞0，P是一个无理数，则aP表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.
例2 求值： .

4.例题讲解

分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.
解：
例3用分数指数幂的形式表示下列各式：

(式中a＞0)
解：

［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.
Ⅲ.课堂练习
课本P51练习
1.用根式的形式表示下列各式(a＞０)

解：

(1) （2）（ａ＋ｂ＞０）
（3） （4）（ｍ＞ｎ）
(5)（ｐ＞０） (6)

2.用分数指数幂表示下列各式：

解：(1)
(2)
(3)
(4) ＝（ｍ－ｎ）２
(5)
(6)
3.求下列各式的值：
(1) ；（2）；（3） ；（4）
（5）； （6）
解：(1)
(2)
（3）
(4)
(5)

(6)

要求：学生板演练习，做完后老师讲评.
（Ⅳ）.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.
（Ⅴ）.课后作业
2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) （2）
（3） （4）
（5） （6）
（一）1.课本P53练习题

解：（1）
(2)
(3)
（4）
（5）
（６）
3.求下列各式的值：
(1) ； （2）； （3） ；（4）

解：（１）
（2）
(3)
(4)
4.用计算器求值(保留4位有效数字)
(1) ；（2）；（3）；（4）；(5) ；（6）25·

解：（1）＝1.710（2）＝46.88（3）＝0.1170
（4）＝28.90（5）＝2.881（6）＝0.08735

板书设计
分数指数幂
1.正分数指数幂意义 3.有理指数幂性质
（ａ＞0，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１） （1）ａｒ·ａｓ＝ａｒ＋ｓ
（2）（ａｒ）ｓ＝ａｒｓ
（ａ＞0，ｒ，ｓ∈Q）
（3）（ａ·ｂ）ｒ＝ａｒ·ａｒ
（ａ＞0，ｂ＞0，ｒ∈Ｑ）
2.规定 4.例题
(1) ［例1］
（ａ＞０，ｍ，ｎ∈N*，ｎ＞１）， ［例2］
(2)0的正分数指数幂等于0， 5.学生练习
(3)0的负分数指数幂无意义.

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