三角形全等之手拉手模型、倍长中线、截长补短法、旋转、寻找三角形全等方法归纳总结.pdf

1一、手拉手模型一、手拉手模型要点一：手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点 结论：（1）ABD AEC （2）+BOC=180 （3）OA 平分BOC变形：例例 1.如图在直线的同一侧作两个等边三角形与，连结与，证ABCABDBCEAECD明（1）DBCABE(2)DCAE(3)与之间的夹角为AEDC60(4)DFBAGB(5)CFBEGB(6)平分BHAHC(7)ACGF/2变式精练 1：如图两个等边三角形与，连结与，ABDBCEAECD证明（1）DBCABE（2）DCAE（3）与之间的夹角为AEDC60（4）与的交点设为,平分AEDCHBHAHC变式精练变式精练 2：如图两个等边三角形与，连结ABDBCE与，AECD证明（1）DBCABE(2）DCAE(3）与之间的夹角为AEDC60(4）与的交点设为,平分AEDCHBHAHC例例 2：如图，两个正方形与,连结ABCDDEFG,二者相交于点CEAG,H问：（1）是否成立？CDEADG（2）是否与相等？AGCE（3）与之间的夹角为多少度？AGCE（4）是否平分？HDAHE例例 3：如图两个等腰直角三角形与，ADCEDG连结,二者相交于点CEAG,H问：（1）是否成立？CDEADG（2）是否与相等？AGCE（3）与之间的夹角为多少度？AGCE（4）是否平分？HDAHE3例例 4：两个等腰三角形与，其中,连ABDBCEBDAB,EBCB CBEABD结与，AECD问：（1）是否成立？DBCABE（2）是否与相等？AECD（3）与之间的夹角为多少度？AECD（4）是否平分？HBAHC二、倍长与中点有关的线段二、倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。【例 1】已知：中，是中线求证：ABCAM1()2AMABACMCBA【练 1】在中，则边上的中线的长的取值范围是什么？ABC59ABAC，BCAD【练 2】如图所示，在的边上取两点、，使，连接、，求ABCABEFAEBFCECF证：ACBCECFCFECBA【例 2】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交ABCADBCEADBE于，求证：ACFAFEFACBE4FEDCBA【练 1】如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，ABCADBCEADBEAC延长交于，求证：BEACFAFEFFEDCBA【练 2】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长ABCADBCDEBCEFADCA线于点，交于点，若，求证：为的角平分线FABGBGCFADABCGFEDCBA【练 3】如图所示，已知中，平分，、分别在、上ABCADBACEFBDAD，DECDEFAC求证：EFABFACDEB【例 3】已知为的中线，的平分线分别交于、交于AMABCAMBAMCABEAC求证：FBECFEFFEMCBA【练 1】在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足Rt ABCFABDECACB若，则线段的长度为_90DFE3AD 4BE DE5FEDCBA【练 2】在中，点为的中点，点、分别为、上的点，且ABCDBCMNABACMDND（1）若，以线段、为边能否构成一个三角形？若能，该90ABMMNCN三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果，求证2222BMCNDMDN22214ADABACMNDABC【例 4】如图所示，在中，延长到，使，为的中ABCABACABDBDABEAB点，连接、，求证CECD2CDECEDCBA【练 1】已知中，为的延长线，且，为的ABCABACBDABBDABCEABC边上的中线AB求证：2CDCEEDCBA全等之截长补短：全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方1.如图所示，中，AD 平分交 BCABC0045,90BCBAC于 D。求证：AB=AC+CD。DACB6如图所示，在中，的角平分线 AD、CE 相交于点 O。求证：ABC060BABCAE+CD=AC。2.如图所示，已知，P 为 BN 上一点，且于 D，AB+BC=2BD，求证：21BCPD。0180BCPBAP3.如图所示，在中，AB=AC，CE 垂直于ABCRt090BACCBDABDBD 的延长线于 E。求证：BD=2CE。5 如图所示，在中，AD 为的平分ABC090ABCBAC线，=30，于 E 点，求证：AC-AB=2BE。C0ADBE EDBCADACEBOEDABC21DMBCPNAC76.如图所示，已知/CD，的平分线恰好交于ABBCDABC,AD 上一点 E，求证：BC=AB+CD。7.如图，E 是的平分线上一点，AOBOAEC OBED 垂足为 C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CF。EDBACFDCAOBE第 8 页共 19 页三、截长补短三、截长补短问题问题 1 1：垂直平分线（性质）定理是_问题问题 2 2：角平分线（性质）定理是_问题问题 3 3：等腰三角形的两个底角_，简称_；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也_，简称_问题问题 4 4：当见到线段的_考虑截长补短，构造全等或等腰转移_、转移_，然后和_重新组合解决问题三角形全等之截长补短（一）三角形全等之截长补短（一）一、单选题一、单选题(共共 4 4 道，每道道，每道 2525 分分)1.已知，如图，BM 平分ABC，P 为 BM 上一点，PDBC 于点 D，BD=AB+CD求证：BAP+BCP=180请你仔细观察下列序号所代表的内容：；1=2；A=BEP；AP=PE；以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.C.D.2.已知，如图，BM 平分ABC，点 P 为 BM 上一点，PDBC 于点 D，BD=AB+DC求证：BAP+BCP=180第 9 页共 19 页请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长 BA，过点 P 作 PEBA 于点 E；延长 BA 到 E，使 AE=DC，连接 PE；延长 BA 到 E，使 DC=AE；以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.C.D.3.已知，如图，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，AD 平分CDE，BAE=2CAD，求证：BC+DE=CD第 10 页共 19 页请你仔细观察下列序号所代表的内容：在 CD 上截取 CF=CB，连接 AF；在 DC 上截取 DF=DE，连接 AF；在 DC 上截取 DF=DE；AE=AF；AF=AE，4=3；4=3；以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.C.D.4.已知，如图，在五边形 ABCDE 中，AB=AE，BAE=2CAD，ABC+AED=180，求证：BC+DE=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：延长 DE 到 F，使 EF=BC，连接 AF；延长 DE 到 F，使 BC=EF；第 11 页共 19 页延长 DE 到 F，连接 AF；以上空缺处依次所填最恰当的是()A.B.C.D.四、三角形全等旋转与截长补短专题四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？【例 1】如图，P 是正ABC 内的一点，若将PBC 绕点 B 旋转到PBA，则PBP的度数是()A45B60 C90 D120【例 2】如图，正方形 BAFE 与正方形 ACGD 共点于 A，连接BD、CF，求证：BDCF 并求出DOH 的度数。【例 3】如图，正方形 ABCD 中，FADFAE。求证：BEDFAE。1题干中出现对图形的旋转现成的全等2图形中隐藏着旋转位置关系的全等形找到并利用3题干中没提到旋转，图形中也没有旋转关系存在通过作辅助线构造旋转！【例 4】已知：如图：正方形 ABCD 中，MAN45，MAN 的两边分别交 CB、DC 于点M、N。求证：BMDNMN。【例 5】如图，正方形 ABCD 中，EAF45，连接对角线 BD 交 AE 于 M，交 AF 于 N，证明：DN2BM2MN2【例 6】如图，已知OAB 和OCD 是等边三角形，连结 AC 和 BD，相交于点 E，AC 和 BO 交于点 F，连结 BC。求AEB 的大小。【例 7】如图所示：ABC 中，ACB90，ACBC，P 是ABC 内的一点，且AP3，CP2，BP1，求BPC 的度数。本课总结本课总结问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件构造旋转的条件)1图中有相等的边(等腰三角形、等边三角形、正方形、正多边形)2这些相等的边中存在共端点。3如果旋转(将一条边和另一条边重合)，会出现特殊的角：大角夹半角、手拉手、被分割的特殊角。问题二：旋转都有哪些模型？问题二：旋转都有哪些模型？构造旋转辅助线模型：1大角夹半角2手拉手(寻找旋转)3被分割的特殊角测试题1如图，P 是正ABC内的一点，且 BP 是ABC 的角平分线，若将PBC绕点 P 旋转到P BA，则PBP的度数是()A45B60C90D120 2如图：ABC 中，ABAC，BC 为最大边，点 D、E 分别在 BC、AC 上，BDCE，F 为 BA延长线上一点，BFCD，则下列正确的是()ADFDE BDCDFCECEAD不确定3如图，四边形 ABCD 中，ABC30，ADC60，ADDC，则下列正确的是()ABD2AB2BC2 BBD2AB2BC2CBD2AB2BC2 D不确定4已知ABC中，90ACB，CDAB于 D，AE 为角平分线交 CD 于 F，则图中的直角三角形有()A7 个B6 个C5 个D4 个5如图，DAAB，EAAC，ADAB，AEAC，则下列正确的是()PABCPCBAFDEBDACAABDACEBADFAESCBMFCMSDADCABE6如图，已知 P 为正方形ABCD 的对角线 AC 上的一点(不与 A、C 重合)，PEBC 与点E，PFCD 与点 F，若四边形PECF 绕点 C 逆时针旋转，连结BE、DF，则下列一定正确的是()ABPDPBBE2EC2BC2CBPDFDBEDF7如图，等腰直角ADB 与等腰直角AEC 共点于A，连结 BE、CD，则下列一定正确的是()ABEDCBADCECBECEDBECE8如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC共点于A，连接 BF、CE，则EOB的度数为()A45B60 C90 D120 9如图，在四边形ABCD中，ABAD，90BD，E、F 分别是边BC、CD上的点，且12EAFBAD。则下列一定正确的是()AEFBEFD BEFBEFDCEFBEFD D222EFBEFD10在正方形 ABCD 中，BE3，EF5，DF4，则BAEDCF 为()A45B60 C90D120FEDCBAOGFECBAFEDCBASFEDCBAMDCBAEPFABCDOEFEDCBA五、寻找全等三角形的几种方法五、寻找全等三角形的几种方法利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等.在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论下面介绍寻找全等三角形的几种方法，供同学们参考一、利用公共角例 1 如图 1，AB AC,AE AF.求证:B C.分析：要证明B C，只需证明BOECOF 或ABFACE.而由图形可知A 是公共角，又由已知条件 AB AC,AE AF,所以ABFACE，于是问题获证二、利用对顶角（题目中的隐含条件）例 2 如图 2，B、E、F、D 在同一直线上，AB CD，BE DF，AE CF，连接 AC 交 BD 于点 O求证：AO CO分析：要证明 AO CO，只需证明AOECOF 或AOBCOD 即可根据现有条件都无法直接证明而由已知条件 AB CD，BE DF,AE CF 可直接证明ABECDF，则 有AEBCFD，进而有AEO CFO,再 利 用 对 顶 角 相 等，即可 证 明。三、利用公共边（题目中的隐含条件）例 3 如图 3，AB CD，AC BD求证：B C分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时B 与C 分别在AOB 和DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形此时可以连接 AD，那么 AD是ABD 和DCA 的公共边，这样可以证明ABDDCA四、利用相等线段中的公共部分例 4 如图 4，E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF CE.求证：BEDF.分析：要证明 BEDF,只需证明BEC DFA，此时可以转换为证明AEB CFD,进而证明AEBCFD.图 3图 2图 1图 4FCOACEOBOECAACDADBFFBDBE五、利用等角中的公共部分例 5 如图 5，已知E 30，AB AD，AC AE，BAEDAC求C 的度数分析：已知E 30，要求C，可考虑证明ABCADE,由BAE DAC,结合图形可知BAC DAE，于是问题获解六、利用互余或互补角的性质考点：同角或等角的余角相等例 6 如图 6，已知DCE 90，DAC 90，BEAC 于 B,且 DC EC,能否找出与 AB+AD 相等的线段，并说明理由分析：由于 AC AB+BC，可以猜想 AC AB+AD，或 BE AB+AD，此时只需证明 AD BC 即可而事实上，用同角的余角相等可得到DCA E，从而证明ADCBCE，问题获证例 7，如图 71，在正方形 ABCD 中，M,N 分别是 CD，AD 上的点，BM 与 CN 相交于点 O,若BON=90，求证：DNC CMB.变式：如图 72，在等边ABC 中，M,N 分别是 AC,AB 上的点，BM 与 CN 相交于点 O,若BON=60，求证:ANCCMB图 7-2图 6图 7-1图 5OMCONBCBECCADABBAEDDAMN七、利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）构造全等三角形考点一：利用角平分线上的点到角两边的距离相等例 8，如图 8，点 P 是ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E,PF 垂直 BC 所在的直线于 F,PAB+PCB=180。求证 PA=PC.考点二：利用截长补短法构造全等三角形所谓截长法是指在较长得到线段上截取一条线段等于较短线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可把分散的条件相对集中，以便构造全等三角形。例 9，如图 9，在ABC 中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC 至 E 使 CE=CD，或在 AB 上截取AF=AC.八、利用“一线三等角”模型构造全等三角形。所谓“一线三等角”是指一条直线上有三个相等角，如果有一条边相等则可以构造全等三角形.类型一：直角三角形中的“一线三等角”例 10，如图 10，ABC 中，B=90，CDAC，过 D 作 DEAB 交 BC 延长线与 E。且 AC=CD，求证：ABCCED。类型二：等腰三角形中地边上的“一线三等角”例 11，如图 11，在ABC 中，AB=AC，点 D,E 分别在 AB,BC 上，作DEF=B，射线 EF 交线段 AC 于 F若 DE=EF,求证：DBEECF；21图 11图 10图 9图 8CCDDFEBBCABEAAFPNACBDE