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初三数第2讲圆教师版.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途第二讲 圆 一、知识梳理1、圆的有关概念及性质圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形定点为圆心,定长为半径圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线,对称中心是圆心,圆还具有旋转不变性2、垂径定理及其逆定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆,所以我们应先对他们进行区分每个定理都是一个命题,每个命题都有条件和结论在垂径定理中,条件是:一条直径垂直于一条弦,结论是:这条直径平分这条弦,且平分弦所对的弧(有两对弧相等)在逆定理中
2、,条件是:一条直径平分一条弦(不是直径),结论是:这条直径垂直于这条弦,并且平分弦所对的弧(也有两对弧相等)从上面的分析可知,垂径定理中的条件是逆定理中的结论,垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件,在具体的运用中,是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理,若已知直径垂直于弦,则用垂径定理;若已知直径平分弦,则用逆定理3、圆心角、弧、弦之间关系定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等4、圆心角与圆周角的关系一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半在同圆
3、或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等直径所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径经典例题讲解【例题1】判断题(对的打,错的打,并说明理由)(1)半圆是弧,但弧不一定是半圆;(2)弦是直径;(3)长度相等的两段弧是等弧;(4)直径是圆中最长的弦。难度分级A类试题来源经典例题选题意图巩固圆的基本概念解题思路(1)因为半圆是弧的一种,弧可分为劣弧、半圆、优弧三种,故正确;(2)直径是弦,但弦不一定都是直径,只有过圆心的弦才是直径,故错;(3)只有在同圆或等圆中,能够互相重合的两段弧才是等弧,故错;(4)直径是圆中最长的弦,正确。参考答案 (1)(2)(3)(4)。 举一反三【变式1】下列说法错
4、误的是( )A.半圆是弧 B。圆中最长的弦是直径 C.半径不是弦 D.两条半径组成一条直径解题思路弧有三类,分别是优弧、半圆、劣弧,所以半圆是弧,A正确;直径是弦,并且是最长的弦,B正确;半径的一个端点为圆心,另一个端点在圆上,不符合弦的定义,所以不是弦,C正确;两条半径只有在同一直线上时,才能组成一条直径,否则不是,故D错误.参考答案D【例题2】已知,点P是半径为5的O内一点,且OP=3,在过点P的所有的O的弦中,弦长为整数的弦的条数为( ) A。2 B.3 C。4 D。5难度分级A类试题来源经典例题选题意图巩固垂径定理解题思路在一个圆中,过一点的最长弦是经过这一点的直径,最短的弦是经过这一
5、点与直径垂直的弦.知道这些,就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.参考答案解:如图,过点P作直径AB,过点P作弦,连接OC则OC=5,CD=2PC由勾股定理,得CD=2PC=8,又AB=10 过点P的弦长L的取值范围是 弦长L的整数解为8,9,10,弦长等于9的弦有2条,共4个答案:C总结升华:本题中很多条件是“隐性”出现的,或者称之为“隐含条件.我们在解题时,要善于挖掘隐含条件,识别隐含条件的不同表达方式,将其转化为容易理解的题目,化难为易,这也体现了转化思想在解题中的具体应用.【例题3】。已知:O的半径为10cm,弦ABCD,AB=12cm,CD=16cm,求AB、CD间的距离.
6、难度分级B类试题来源经典例题选题意图加深垂径定理的理解、应用.解题思路O中,两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度,若分别作弦AB、CD的弦心距,则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离。参考答案解:(1)如图,当O的圆心O位于AB、CD之间时,作OMAB于点M,并延长MO,交CD于N点.分别连结AO、CO.又ABCDONCD,即ON为弦CD的弦心距.AB=12cm,CD=16cm,AO=OC=10cm =8+6=14(cm) (2)如图所示,当O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时同理可证:MN=OMON=86=2(cm)O中,平行线AB
7、、CD间的距离是14cm或2cm。总结升华:解这类问题时,要依平行线与圆心间的位置关系,分类讨论,千万别丢解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况,要特别注意.【例题4】。如图,AB是O的直径,C、D、E都是O上的点,则1+2=_.难度分级B类试题来源经典例题选题意图加深圆周角概念的理解解题思路如图,连接OE,则1=A0E,2=BOE 参考答案90举一反三【变式1】如图,A、B、C、D是O上的四点,且BCD=100,求1(所对的圆心角)和BAD的大小解题思路要求圆心角BOD的大小,且知道圆周角BCD=100,但两者不是同弧所对的角,不能直接利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍来实现求解观察BC
8、D它所对的弧是,而所对的圆心角是2,所以可以解得2又发现2和1的和是一个周角,所以可得1,而BAD=1参考答案解:BCD和2分别是所对的圆周角和圆心角 2=2BCD=200 又2+1=360,1=160 BAD和1分别是所对的圆周角和圆心角 BAD=1=80总结升华:圆心角和圆周角是借助它们所对的弧联系起来的,所以在圆中进行有关角的计算时,通常找到已知角所对弧,看看怎么样通过弧和未知角建立起联系事实上由这个题我们可以总结出圆内接四边形对角互补【例题5】如图,AB是O的直径,BD是O的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?难度分级B类试题来源经典例题选题意图圆周角定
9、理推论的应用解题思路BD=CD,因为AB=AC,所以ABC是等腰三角形,要证明D是BC的中点,只要连接AD证明AD是高或是BAC的平分线即可参考答案解:BD=CD理由是:如图,连接ADAB是O的直径ADB=90即ADBC又AC=ABBD=CD。(等腰三角形的三线合一)举一反三【变式1】如图所示,AB为O的直径,动点P在O的下半圆,定点Q在O的上半圆,设POA=x,PQB=y,当P点在下半圆移动时(P不与A、B重合),试求y与x之间的函数关系式. 解: 解法1:如图所示, AB为O的直径,AOP=x POB=180-x=(180x) 又PQB=POB=(180x)=(90x) 解法2:如图所示,
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