初三数第2讲圆教师版.doc

个人收集整理 勿做商业用途第二讲 圆 一、知识梳理1、圆的有关概念及性质圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形定点为圆心，定长为半径圆既是轴对称图形,又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性2、垂径定理及其逆定理垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论在垂径定理中,条件是：一条直径垂直于一条弦，结论是：这条直径平分这条弦,且平分弦所对的弧(有两对弧相等）在逆定理中，条件是：一条直径平分一条弦（不是直径)，结论是：这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧（也有两对弧相等）从上面的分析可知,垂径定理中的条件是逆定理中的结论,垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理3、圆心角、弧、弦之间关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4、圆心角与圆周角的关系一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径经典例题讲解【例题1】判断题(对的打，错的打，并说明理由）（1)半圆是弧，但弧不一定是半圆;(2）弦是直径；（3）长度相等的两段弧是等弧；(4）直径是圆中最长的弦。难度分级A类试题来源经典例题选题意图巩固圆的基本概念解题思路(1)因为半圆是弧的一种,弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；（2)直径是弦,但弦不一定都是直径,只有过圆心的弦才是直径,故错；(3）只有在同圆或等圆中，能够互相重合的两段弧才是等弧，故错；(4)直径是圆中最长的弦，正确。参考答案 （1）（2)（3)(4)。 举一反三【变式1】下列说法错误的是( )A.半圆是弧 B。圆中最长的弦是直径 C.半径不是弦 D.两条半径组成一条直径解题思路弧有三类，分别是优弧、半圆、劣弧，所以半圆是弧，A正确;直径是弦，并且是最长的弦，B正确;半径的一个端点为圆心，另一个端点在圆上，不符合弦的定义，所以不是弦，C正确；两条半径只有在同一直线上时，才能组成一条直径，否则不是,故D错误.参考答案D【例题2】已知，点P是半径为5的O内一点,且OP=3,在过点P的所有的O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（ ) A。2 B.3 C。4 D。5难度分级A类试题来源经典例题选题意图巩固垂径定理解题思路在一个圆中，过一点的最长弦是经过这一点的直径,最短的弦是经过这一点与直径垂直的弦.知道这些，就可以利用垂径定理来确定过点P的弦长的取值范围.参考答案解：如图，过点P作直径AB,过点P作弦，连接OC则OC=5,CD=2PC由勾股定理，得CD=2PC=8，又AB=10 过点P的弦长L的取值范围是 弦长L的整数解为8，9，10，弦长等于9的弦有2条，共4个答案：C总结升华：本题中很多条件是“隐性”出现的，或者称之为“隐含条件.我们在解题时，要善于挖掘隐含条件，识别隐含条件的不同表达方式，将其转化为容易理解的题目，化难为易，这也体现了转化思想在解题中的具体应用.【例题3】。已知:O的半径为10cm，弦ABCD，AB=12cm,CD=16cm，求AB、CD间的距离.难度分级B类试题来源经典例题选题意图加深垂径定理的理解、应用.解题思路O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度,若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离。参考答案解：（1)如图，当O的圆心O位于AB、CD之间时，作OMAB于点M,并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.又ABCDONCD，即ON为弦CD的弦心距.AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm =8+6=14（cm) (2）如图所示，当O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间（即弦AB、CD在圆心O的同侧）时同理可证:MN=OMON=86=2(cm)O中，平行线AB、CD间的距离是14cm或2cm。总结升华：解这类问题时，要依平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.在解圆的有关问题时经常会出现多解的情况，要特别注意.【例题4】。如图，AB是O的直径，C、D、E都是O上的点，则1+2=_.难度分级B类试题来源经典例题选题意图加深圆周角概念的理解解题思路如图，连接OE，则1=A0E，2=BOE 参考答案90举一反三【变式1】如图,A、B、C、D是O上的四点,且BCD=100，求1（所对的圆心角）和BAD的大小解题思路要求圆心角BOD的大小,且知道圆周角BCD=100,但两者不是同弧所对的角,不能直接利用同弧所对圆心角等于圆周角的2倍来实现求解观察BCD它所对的弧是,而所对的圆心角是2，所以可以解得2又发现2和1的和是一个周角，所以可得1，而BAD=1参考答案解:BCD和2分别是所对的圆周角和圆心角 2=2BCD=200 又2+1=360，1=160 BAD和1分别是所对的圆周角和圆心角 BAD=1=80总结升华：圆心角和圆周角是借助它们所对的弧联系起来的，所以在圆中进行有关角的计算时,通常找到已知角所对弧，看看怎么样通过弧和未知角建立起联系事实上由这个题我们可以总结出圆内接四边形对角互补【例题5】如图，AB是O的直径,BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？难度分级B类试题来源经典例题选题意图圆周角定理推论的应用解题思路BD=CD,因为AB=AC，所以ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连接AD证明AD是高或是BAC的平分线即可参考答案解:BD=CD理由是：如图，连接ADAB是O的直径ADB=90即ADBC又AC=ABBD=CD。(等腰三角形的三线合一）举一反三【变式1】如图所示,AB为O的直径，动点P在O的下半圆,定点Q在O的上半圆，设POA=x，PQB=y，当P点在下半圆移动时（P不与A、B重合)，试求y与x之间的函数关系式. 解： 解法1：如图所示， AB为O的直径,AOP=x POB=180-x=(180x) 又PQB=POB=(180x)=(90x） 解法2：如图所示，连结AQ, 则AQP=AOP=（x) 又AB是O的直径， AQB=90 【变式2】已知,如图，O上三点A、B、C,ACB=60,AB=m，试求O的直径长。解:如图所示，作O的直径AC，连结CB 则ACB=C=60 又AC是O的直径， ABC=90 即O的直径为.方法二:连接OA、OB，过点O作OD垂直于AB。【课堂训练题】1O中，直径ABa, 弦CDb,，则a与b大小为（ ）Aab Bab Cab D ab难度分级A类参考答案B2.下列语句中不正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦； 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴； 半圆是弧。A1个 2个 C3个 4个难度分级A类参考答案C3已知O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个难度分级B类参考答案C课后自我检测A类题：1有下列四个命题:直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有( ）A。4个 B。3个 C。2个 D。1个2下列判断中正确的是( ）A。平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C.弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D。平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦3如图，在两半径不同的同心圆中，AOBAOB60，则（ )A。 B。C。的度数的度数D。的长度的长度4如图，已知O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60,的度数为100,则AEC等于( ）A。60 B。100 C。80 D。130 5圆内接四边形ABCD中,A、B、C的度数比是236，则D的度数是（ ）A。67。5 B.135 C。112.5 D。1106如图，已知O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ )A2.5 B3.5 C4。5 D5。5 ABOM7如图，已知AB是O的直径，BOC=400，那么AOE=（ )_O_E_D_C_B_AA.400 B。 600 C.800 D。1200AmB8如图，将圆沿AB折叠后,圆弧恰好经过圆心，则 等于（ ）A60 B90 C120 D150 (第8题）9已知O的半径是5cm,弦ABCD,AB6cm，CD8cm，则AB与CD之间的距离是（ ) A1 cm B7 cm C。1 cm或7 cm D.无法确定10如图,BD是O的直径，圆周角A = 30，则CBD的度数是（ )A30 B45 C60 D80O30DBCAB类题:11如图,AB为O的直径，C、D是O上的两点,BAC30，ADCD,则DAC的度数是（ )ODCBAA30B60 C45 D7512如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为（ )A cm B9 cm Ccm Dcm13如图，O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 .14如图，AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C，且CD1,则弦ADBCOAB的长是 。15如图，CD是O的直径，弦ABCD,连接OA，OB，BD，若AOB100，则ABD 度。16如图，点A、B是O上两点,AB=10，点P是O上的动点（P与A，B不重合）连接AP，PB，过点O分别作OEAP于点E，OFPB于点F,则EF= 。AEOFBP 17如图所示，AB是O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且AE=BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明。18如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片,试找出它的圆心， 并将它还原成一个圆要求：、尺规作图；、保留作图痕迹。（可不写作法.） 19。如图，在O中,2 ,试判断AB与CD的大小关系,并说明理由。CBAOD20如图所示，O的直径AB和弦CD交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA30，求CD。OEDCBA C类题:FECBAOD21. 如图，BC为O的直径,ADBC,垂足为D. 点A是弧BF的中点 ，BF和AD相交于E。试猜想AE与BE的长度之间的关系,并请说明理由。22如图所示，AB是O的一条弦，ODAB，垂足为C，交O于点D,点E在O上。EBDCAO（1）若AOD=52,求DEB的度数；（2）若OC=3,OA=5,求AB的长。EDBAOC23如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E。连接AC、OC、BC。（1）求证:ACO=BCD。（2）若EB=,CD=,求O的直径.24如图所示，已知O是EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.求证：PB=PD。若角的顶点P在圆上或圆内，中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由;若成立，请加以证明。25如图，已知AB为O的直径,E20，DBC50，则CBE_26.如图，A、B、C是O上的三个点，当BC平分ABO时，能得出结论 （任写一个）。 OCBA EODCBA27.如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则（ ）A、28 B、26 C、18 D、35第二讲课后自我检测试卷参考答案A类试题：1.B【提示】若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆,故不对，其余三个都正确【点评】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，其中第个命题不对的原因在于忽视了过三点作圆的条件2。C【提示】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦,因此平分弦所对的两条弧3。C【提示】因为在圆中,圆心角的度数与它所对的弧的度数相等,而AOBAOB，所以的度数的度数不在同圆等圆中，不能比较弧的大小.4.C【提示】如图连接BC，则AECBC60100805.C【提示】因为圆内接四边形的对角之和为180，则ACBD180又因为ABC236，所以BD35，所以D的度数为180112.56. C；7. C；8。 C;9. C；10。 C；类试题:11. A；12。 C；13. 6 cm;14。 6；15。 25；16. 5；17OE=OF 证明：连接OA,OB. OA,OB是O的半径， OA=OB，OBA=OAB. 又AE=BF。 OAEOBF,OE=OF。18提示：在残片上任意取不同的三点作两弦垂直平分线，其交点就是圆心.EB19。 AB2CD。提示： 取的中点E，连结EA、EB，则 ，所以EA=EB=CD。20 cm。提示：作OFCD于F，先求OE，再求OF，最后用勾股定理求CD.C类试题：21AE=BE。提示：连结AC或补成完整的圆延长AD应用垂径定理.22解：（1）， EBDCAO(2)，,为直角三角形，由勾股定理可得23证明：(1)AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于E，EDBAOCDBCBCE=ED， =BCD=BAC OA=OC OAC=OCA ACO=BCD(2)设O的半径为Rcm,则OE=OBEB=R8,CE=CD=24=12在RtCEO中，由勾股定理可得OC=OE+CE 即R= (R8) +12解得 R=13 。 2R=213=26 。答：O的直径为26cm。24.(1）证明：过O作OEPB于E，OFPD于F。 （2）上述结论仍成立。如图所示。证明略.25. 60【提示】如图，连接AC设DCAx，则DBAx，所以CABx20因为AB为直径，所以BCA90，则CBACAB90又 DBC50, 50x(x20）90 x10 CBE6026.OCAB等；27.分析：如图，连接OA、OC，过O分别作AB、CD的垂线,垂足分别为M、N，则AMMB，CNND。OMMN，MEEN，CNND从而即 故选A.