二次函数图象的平移和对称变换.doc
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1、二次函数图象的平移、旋转、轴对称专题有关图象的变换一般可采用两种基本的方法,其一是利用特殊点进行变换,其二是利用坐标变换的规律进行变换。所谓利用特殊点进行变换,即选取原图象上一些特殊的点,把这些点按指定的要求进行变换,再把变换后的点代入到新的解析式中,从而求出变换后的解析式,利用特殊点进行变换,又可以从一般形式入手,选取图象上的三个特殊的点进行变换,也可以把一般形式化为顶点式,选取顶点作为特殊点,然后进行变换。利用坐标变换的方法,根据题目的要求,利用坐标变换的规律,从而进行变换。下面由具体的例子进行说明。一、 平移。例1、 把抛物线y=x2-4x+6向左平移3个单位,再向下平移4个单位后,求其
2、图象的解析式。法(一)选取图象上三个特殊的点,如(0,6),(1,3),(2,2)【选取使运算最简单的点】,然后把这三个点按要求向左平移3个单位,再向下平移4个单位后得到三个新点(-3,2),(-2,-1),(-1,-2),把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中,求出各项系数即可。例2、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位,再向右平移3个单位,求其解析式。法(二)先利用配方法把二次函数化成的形式,确定其顶点(2,-3),然后把顶点(2,-3)向上平移4个单位,再向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点为(5,1),因为是抛物线的平移,因此平移前后a的值应该
3、相等,这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2,且顶点为(5,1),就可以求出其解析式了。【平移规律:在原有函数的基础上“左加右减、上加下减”】.法(三)根据平移规律进行平移,不论哪种抛物线的形式,平移规律为“左右平移即把解析式中自变量x改为x加上或减去一个常数,左加右减,上下平移即把整个解析式加上或减去一个常数,上加下减。”例3、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其向上平移4个单位,再向右平移3个单位,求其解析式。平移后的图象的解析式为:y=2(x-3)2-8(x-3)+5+4.然后化简即可。针对练习1、求把二次函数yx24x3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式:(1)向右
4、平移2个单位,向下平移1个单位;(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位。2、抛物线是由抛物线怎样平移得到的?3、若抛物线向左平移2个单位,再向下平移4个单位,求所得到的解析式。二、二次函数图象的轴对称变换二次函数图象的对称一般有关于x对称和关于y对称等情况,可以用一般式或顶点式表达1. 关于轴对称例4、 把抛物线y=x2-4x+6关于轴对称后,求其图象的解析式。法(一)选取图象上三个特殊的点,如(0,6),(1,3),(2,2)【选取使运算最简单的点】,然后把这三个点按要求关于轴对称后得到三个新点(0,-6),(1,-3),(2,-2),把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+
5、bx+c中,求出各项系数即可。例5、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于轴对称后的解析式。法(二)先利用配方法把二次函数化成的形式,确定其顶点(2,-3),然后把顶点(2,-3)关于轴对称后得到新抛物线的顶点为(2,3),因为是抛物线关于轴对称,因此关于轴对称后a的值应该互为相反数,这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=-2,且顶点为(2,3),就可以求出其解析式了。法(三)例6、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于轴对称后的解析式。根据关于x轴对称的点的特征:横坐标相等,纵坐标互为相反数。不论是哪种形式的解析式,我们只要把原解析式中的y改写为-y,然后再整理即可。即其关于轴对称后的解
6、析式为:-y=2x2-8x+5,整理为y=-2x2+8x-5 【关于轴对称后,得到的解析式是;】 练习求与抛物线 关于轴对称的抛物线的解析式2. 关于轴对称例7、把抛物线y=x2-4x+6关于y轴对称后,求其图象的解析式。法(一)选取图象上三个特殊的点,如(0,6),(1,3),(2,2)【选取使运算最简单的点】,然后把这三个点按要求关于y轴对称后得到三个新点(0,6),(-1, 3),(-2, 2),把这三个新点代入到新的函数关系式的一般形式y=ax2+bx+c中,求出各项系数即可。例8、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于y轴对称后的解析式。法(二)先利用配方法把二次函数化成的形式,确
7、定其顶点(2,-3),然后把顶点(2,-3)关于y轴对称后得到新抛物线的顶点为(-2,-3),因为是抛物线关于y轴对称,因此关于y轴对称后a的值应该相等,这样我们就得到新的抛物线的解析式中a=2,且顶点为(-2,-3),就可以求出其解析式了。法(三)例9、已知抛物线y=2x2-8x+5,求其关于y轴对称后的解析式。根据关于y轴对称的点的特征:横坐标互为相反数,纵坐标相等。不论是哪种形式的解析式,我们只要把原解析式中的x改写为-x,然后再整理即可。即其关于y轴对称后的解析式为:y=2(-x)2-8(-x)+5,整理为y=2x2+8x+5 关于轴对称后,得到的解析式是请你推测对于顶点式情况如何?
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