【解析版】广东汕头市高三第二次模拟考试数学(理)试题.doc

2013年广东省汕头市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题
1．（3分）（2012•安徽）复数z 满足（z﹣i）i=2+i，则 z=（　　）

A．
﹣1﹣i
B．
1﹣i
C．
﹣1+3i
D．
1﹣2i

考点：
复数代数形式的乘除运算．
专题：
计算题．
分析：
复数方程两边同乘i后，整理即可．
解答：
解：因为（z﹣i）i=2+i，所以（z﹣i）i•i=2i+i•i，即﹣（z﹣i）=﹣1+2i，
所以z=1﹣i．
故选B．
点评：
本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．

2．（3分）（2013•汕头二模）已知集合M{x|y=}，N={x|﹣3≤x≤1}，且M、N都是全集I的子集，则如图韦恩图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．
{x|﹣≤x≤1}
B．
{x|﹣3≤x≤1}
C．
{x|﹣3≤x≤﹣}
D．
{x|1≤x≤}

考点：
Venn图表达集合的关系及运算．
专题：
计算题．
分析：
用集合M，N表示出阴影部分的集合；通过解二次不等式求出集合M；利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合．
解答：
解：图中阴影部分表示N∩（CUM），
∵M={x|3﹣x2＞0}={x|﹣＜x＜}，
∴CUM={x|x≤﹣或x}，
N={x|﹣3≤x≤1}，
∴N∩（CUM）={x|﹣3≤x≤﹣}
故选C
点评：
本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集．

3．（3分）（2013•汕头二模）执行框图，若输出结果为，则输入的实数x的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
选择结构．
专题：
图表型．
分析：
根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 的函数值，令y=，利用此分段函数的解析式求出相应的x 的即可．
解答：
解：分析如图执行框图，
可知：该程序的作用是计算分段函数 的函数值．
当x＞1时，若y=，则x=
当x≤1时，若y=，则x﹣1=，x=不合．
故选D．
点评：
本题主要考查了选择结构、流程图等基础知识，算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．

4．（3分）（2013•汕头二模）如图所示，图中曲线方程为y=x2﹣1，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
定积分．
专题：
导数的综合应用．
分析：
由微积分基本定理的几何意义即可得出．
解答：
解：由微积分基本定理的几何意义可得：图中围成封闭图形（阴影部分）的面积S==．
故选C．
点评：
正确理解微积分基本定理的几何意义是解题的关键．

5．（3分）（2013•汕头二模）给出平面区域G，如图所示，其中A（5，3），B（2，1），C（1，5）．若使目标函数P=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（　　）

A．
4
B．
2
C．

D．

考点：
简单线性规划．
专题：
计算题．
分析：
将目标函数P=ax+y化成斜截式方程后得：y=﹣ax+P，所以目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P的截距，当直线族的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数P=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，由此不难得到a的值．
解答：
解：∵目标函数P=ax+y，
∴y=﹣ax+P．
故目标函数值Z是直线族y=﹣ax+P的截距，
当直线族y=﹣ax+P的斜率与边界AB的斜率相等时，
目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个，
此时，﹣a==﹣4，
即a=4，
故选A．
点评：
目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．

6．（3分）（2013•汕头二模）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
由三视图求面积、体积．
专题：
计算题．
分析：
画出几何体，通过PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．据此可计算出该几何体的体积．
解答：
解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．
∴V三棱锥P﹣ABC=×5×4×4=．
故选A．

点评：
本题考查三视图与几何体的关系，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键．

7．（3分）（2013•汕头二模）已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1＞b1，a1，b1∈N*（n∈N*），则数列前10项的和等于（　　）

A．
55
B．
70
C．
85
D．
100

考点：
等差数列的前n项和．
专题：
计算题．
分析：
根据a1+b1=5，a1，b1∈N*，故可知a1，b1有3和2，4和1两种可能，又知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，即可求出，再根据等差数列的求和公式即可求出数列{}的前10项和．
解答：
解：∵a1+b1=5，a1，b1∈N*，a1＞b1，a1，b1∈N*（n∈N*），
∴a1，b1有3和2，4和1两种可能，
当a1，b1为4和1的时，=4，前10项和为4+5+…+12+13=85；
当a1，b1为3和2的时，=4，前10项和为4+5+…+12+13=85；
故数列{}的前10项和等于85，
故选C．
点评：
本题主要考查数列求和和等差数列的性质的知识点，解答本题的关键是对a1+b1=5进行两种可能分类，是基础题．

8．（3分）（2013•汕头二模）关于二项式（x﹣1）2013有下列命题：
（1）该二项展开式中非常数项的系数和是1；
（2）该二项展开式中第六项为；
（3）该二项展开式中系数最大的项是第1007项；
（4）当x=2014时，（x﹣1）2013除以2014的余数是2013．
其中正确命题有（　　）

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
计算题．
分析：
利用赋值求出各项系数和，判断出命题（1）正确；利用二项展开式的通项公式求出第六项，判断出命题（2）错误；据二项展开式的二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大，判断出命题（3）正确；利用二项式定理将二项式展开，判断出命题（4）正确．
解答：
解：此二项展开式各项系数的和为0，其常数项为﹣1，故（1）正确；
其第六项T6=C20135x2013﹣5•（﹣1）5=﹣C20135x2008，故（2）错；
该二项展开式共有2014项，奇数项系数为正、偶数项系数为负，
由二项式系数的性质知第1007项与1008项系数的绝对值最大，故（3）正确；
（x﹣1）2013=（x2013﹣C20131x2012+C20132x2011﹣…+C20132012x）﹣1=（x2013﹣C20131x2012+C20132x2011﹣…+C20132012﹣1）x+x﹣1．当x=2014时，被2014除的余数为2014﹣1=2013．故（4）正确．
其中正确命题有3个．
故选C．
点评：
本题考查求展开式的系数和的方法是赋值法，考查二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，考查展开式的二项式系数的性质．属于中档题．

二、填空题（一）必做题（9-13题）（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
9．（3分）（2013•汕头二模）某学校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程序的破坏，但可见部分如图，据此可以了解分数在[50，60）的频率为　0.08　，并且推算全班人数为　25　．

考点：
茎叶图；频率分布直方图．
专题：
图表型．
分析：
根据频率分布直方图知分数在[50，60）的频率为0.008×10，和由茎叶图知分数在[50，60）之间的频数为2，得到全班人数．
解答：
解：根据频率分布直方图可知，分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
据此可以了解分数在[50，60）的频率为 0.08．
由茎叶图知：分数在[50，60）之间的频数为2，所以全班人数为25．
故答案为：0.08；25．
点评：
本题考查频率分步直方图和茎叶图，本题是一个基础题．

10．（3分）（2013•汕头二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后水面宽米．

考点：
抛物线的简单性质．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣4代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
解答：
解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A（2，﹣2）代入x2=my，
得m=﹣2
∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣4）得x0=2 ，
故水面宽为m．
故答案为：．

点评：
本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题 的能力．

11．（3分）（2013•汕头二模）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角C=　60°或120°　．

考点：
正弦定理．
专题：
解三角形．
分析：
在△ABC中，利用正弦定理求得sinC=，由此求得 C的值．
解答：
解：在△ABC中，有正弦定理可得 ，即，
解得 sinC=，∴C=60°或120°，
故答案为 60°或120°．
点评：
本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．

12．（3分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为　1　．

考点：
平面向量数量积的运算．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
直接利用向量转化，求出数量积即可．
解答：
解：因为====1．
故答案为：1

点评：
本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．

13．（3分）（2013•汕头二模）若∃x∈R，使|x﹣a|+|x﹣1|≤4成立，则实数a的取值范围是　[﹣3，5]．

考点：
绝对值不等式的解法．
专题：
计算题；转化思想；不等式的解法及应用．
分析：
利用绝对值的几何意义，转化不等式为|a﹣1|≤4，解之即可．
解答：
解：在数轴上，|x﹣a|表示横坐标为x的点P到横坐标为a的点A距离，|x﹣1|就表示点P到横坐标为1的点B的距离，
∵（|PA|+|PB|）min=|a﹣1|，
∴要使得不等式|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，只要最小值|a﹣1|≤4就可以了，
即|a﹣1|≤4，
∴﹣3≤a≤5．
故实数a的取值范围是﹣3≤a≤5．
故答案为：[﹣3，5]．
点评：
本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a﹣1|≤4是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．利用数轴帮助理解．

14．（3分）（2013•汕头二模）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线（θ为参数）和曲线C2：ρ=1上，则|AB|的最大值为　5　．

考点：
参数方程化成普通方程；两点间的距离公式．
专题：
直线与圆．
分析：
先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离加上两半径．
解答：
解：（θ为参数），消去参数θ得，（x﹣2）2+（y﹣）2=1
而ρ=1，而ρ2=x2+y2，
则直角坐标方程为x2+y2=1，
点A在圆（x﹣2）2+（y﹣）2=1上，点B在圆x2+y2=1上
则|AB|的最大值为+1+1=5．
故答案为：5．
点评：
本题主要考查了参数方程化成普通方程，以及简单曲线的极坐标方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．

15．（2013•汕头二模）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC边为直径与AB交于点D，则三角形ACD的面积为．

考点：
三角形的面积公式；与圆有关的比例线段．
专题：
计算题．
分析：
连CD，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB=5cm，再利用Rt△ADC∽Rt△ACB求出AD，然后得到AD，从而求出三角形ACD的面积．
解答：
解：连CD，如图，
在Rt△ABC中，因为AC、BC的长分别为3cm、4cm，所以AB=5cm，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A公共，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴=，即 =，
∴AD=，
在Rt△ADC中，
∴CD==，
则三角形ACD的面积为AD×DC=××=．
故答案为 ．

点评：
本题考查了三角形的面积公式、圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．也考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．

三、解答题
16．（12分）（2013•汕头二模）已知函数的图象与y轴交于，它在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（m，6）和．
（1）求函数f（x）的解析式及m的值；
（2）若锐角θ满足，求f（θ）．

考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数的值；同角三角函数间的基本关系．
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
（1）由图象的最高点的纵坐标求A，由周期求ω，把点代入函数的解析式求得φ，从而求得函数解析式，再根据函数在y右侧的第一个最高点的坐标
为（m，6），可得2m+=，由此解得 m的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinθ 和cosθ 的值，再利用两角和差正弦公式、二倍角公式求得f（θ）=6sin（2θ+ ） 的值．
解答：
解：（1）由函数的图象在y右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（m，6）和，可得A=6，
==（m+）﹣m=，求得ω=2．
把点代入函数的解析式可得 6sin（2×0+φ）=3，解得sinφ=，再由|φ|＜，求得φ=．
故f（x）=6sin（2x+）．
函数在y右侧的第一个最高点的坐标分别为（m，6），故2m+=，解得 m=．
（2）若锐角θ满足，θ∈（0，），∴sinθ=，cosθ=．
f（θ）=6sin（2θ+ ）=6sin2θ•cos+6cos2θ•sin=6sinθcosθ+3（2cos2θ﹣1）
=6××+3（2×﹣1）=．
点评：
本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差正弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求函数的值，属于中档题．

17．（12分）（2013•汕头二模）高三（1）班和高三（2）班各已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛；③先胜两盘的队获胜，比赛结束．已知每盘比赛双方胜出的概率均为．
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率为多少？
（Ⅲ）设高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，求ξ的分布列和期望．

考点：
排列、组合及简单计数问题；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
专题：
计算题．
分析：
（1）本题要应用分步计数原理，先排出参加单打的队员，由于代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不得参加两盘单打比赛，排出参加双打的队员，根据分步计数原理得到结果．
（2）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．根据相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率公式，得到结果．
（3）因为高三（1）班代表队获胜的盘数为ξ，由于先胜两盘的队获胜比赛结束，得到变量的可能取值，类似于第二问得到概率，写出分布列和期望．
解答：
解：（Ⅰ）由题意知参加单打的队员有A32种方法，参加双打的队员有C21种方法．
∴根据分步计数原理得到
高三（1）班出场阵容共有A32•C21=12（种）．
（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜．
∴连胜两盘的概率为
（Ⅲ）ξ的取值可能为0，1，2．
．
．

∴ξ的分布列为

∴．
点评：
本题是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．

18．（14分）（2013•汕头二模）已知动点P（x，y）与两个定点M（﹣1，0），N（1，0）的连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，对于平面上的定点，试探究轨迹C上是否存在点P，使得∠EPF=120°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

考点：
轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（1）写出过PM与PN的直线的斜率，直接利用斜率之积等于常数λ（λ≠0）求出动点P的轨迹C的方程；
（2）根据λ的不同取值，结合圆锥曲线的标准方程逐一讨论轨迹C的形状；
（3）当λ=2时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，且判出E，F恰为双曲线的两个焦点，假设点P存在，结合正余弦定理，利用三角形PEF的面积相等求解P点的坐标．
解答：
解、（1）由题设可知；PM，PN的斜率存在且不为0，
则由kPM•kPN=λ得：，即．
所以动点P的轨迹C的方程为；
（2）讨论如下：
①当λ＞0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线（除去顶点）
②当﹣1＜λ＜0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆（除去长轴两个端点）
③当λ=﹣1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆（除去点（﹣1，0），（1，0））
④当λ＜﹣1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴两个端点）；
（3）当λ=2时，轨迹C的方程为，显然定点E、F为其左右焦点．
假设存在这样的点P，使得∠EPF=120°，记∠EPF=θ，
设PE=m，PF=n，EF=，
那么在△EPF中：由|m﹣n|=2，得m2+n2﹣2mn=4，
，
两式联立得：2mn（1﹣cosθ）=8，所以=．

再设P（xP，yP）
又因为
所以故代入椭圆的方程可得：
所以，所以满足题意的点P有四个，坐标分别为：，，，．
点评：
本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆的位置关系，训练了分类讨论的数学思想方法，涉及圆锥曲线上的一点和圆锥曲线两个焦点连线的问题，结合正余弦定理及圆锥曲线的定义进行求解是常用的方法，此题是中档题．

19．（14分）（2013•汕头二模）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，．∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（3）求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

考点：
用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题：
计算题；证明题．
分析：
（1）由已知中梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，我们易求出AC⊥BC，结合已知中平面ACFE⊥平面ABCD，及平面与平面垂直的性质定理，即可得到BC⊥平面ACFE．
（2）以点ABC﹣A1B1C1为原点，△ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，看出AM∥平面BDF等价于与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，根据向量之间的关系得到结论．
（3）要求两个平面所成的角，根据向量的加减运算做出平面的法向量，二面角B﹣EF﹣D的大小就是向量与向量所夹的角．根据向量的夹角做出结果．
解答：
证明：（1）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°
∴∠ACB=∠DCB﹣∠DCA=90°
∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE
解：（2）当时，AM∥平面BDF，
以点ABC﹣A1B1C1为原点，△ABC所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则，
AM∥平面BDF⇔与、共面，也等价于存在实数m、n，使=m+n，
设．
∵=（﹣a，0，0），，0，0）
∴=+=（﹣at，0，0）
又=（a，﹣a，﹣a），=（0，a，﹣a），
从而要使得：成立，
需，解得∴当时，AM∥平面BDF
（3B（0，a，0），，
过D作DG⊥EF，垂足为G．令==λ（a，0，0），
=+=（aλ，0，a），=﹣=（λa﹣a，a，a）
由得，，
∴
∴，即
∵BC⊥AC，AC∥EF，
∴BC⊥EF，BF⊥EF
∴二面角B﹣EF﹣D的大小就是向量与向量所夹的角．
∵=（0，a，﹣a）
cos＜，＞=，即二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值为．

点评：
本题考查用空间向量求平面间的夹角和线面之间的关系问题，本题解题的关键是建立适当的坐标系，写出要用的空间向量，把立体几何的理论推导变成数字的运算，这是新课标高考卷中常见的一种题目．

20．（14分）（2010•天津）在数列{an}中，a1=0，且对任意k∈N*，a2k﹣1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．
（Ⅰ）证明a4，a5，a6成等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）记，证明．

考点：
数列递推式；等比关系的确定；等差数列的性质．
专题：
计算题；证明题；压轴题．
分析：
（I）由题设可知，a2=2，a3=4，a4=8，a5=12，a6=18．从而，由此可知a4，a5，a6成等比数列．
（II）由题设可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，k∈N*．所以a2k+1﹣a1=（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+（a3﹣a1）=2k（k+1），k∈N*．由此可以推出数列{an}的通项公式．
（III）由题设条件可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，然后分n为偶数和n为奇数两种情况进行讨论，能够证明．
解答：
（I）证明：由题设可知，a2=a1+2=2，a3=a2+2=4，
a4=a3+4=8，
a5=a4+4=12，
a6=a5+6=18．
从而，
所以a4，a5，a6成等比数列；
（II）解：由题设可得a2k+1﹣a2k﹣1=4k，k∈N*．
所以a2k+1﹣a1=（a2k+1﹣a2k﹣1）+（a2k﹣1﹣a2k﹣3）+…+（a3﹣a1）
=4k+4（k﹣1）+…+4×1
=2k（k+1），k∈N*．
由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），
从而a2k=a2k+1﹣2k=2k2．
所以数列{an}的通项公式为
或写为，n∈N*．
（III）证明：由（II）可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N*）
若m=1，则，若m≥2，
则
=
=．
所以，
从而，；
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*）

=．
所以，从而，．
综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有．
点评：
本题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．

21．（14分）（2013•汕头二模）已知函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx．
（1）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x1，x2，且，证明：；
（3）设对于任意的a∈（1，2），总存在，使不等式r（x）＞k（1﹣a2）成立，求实数k的取值范围．

考点：
利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：
导数的综合应用．
分析：
（1）由于f（x）≥g（x）恒成立，只需使x2﹣ax≥lnx，（x＞0）分离参数来解决，注意a≤F（x）即要a≤F（x）min；a≥F（x）即要a≥F（x）max；
（2）借助于极值点的范围，利用函数的导数来处理；
（3）与（1）类似处理，注意分类讨论．
解答：
解：（1）由题意：f（x）≥g（x）⇔x2﹣ax≥lnx，（x＞0）
分离参数α可得：a≤，（x＞0）…（1分）
设，则=…（2分）
由于函数y=x2，y=lnx在区间（0，+∞）上都是增函数，所以
函数y=x2+lnx﹣1在区间（0，+∞）上也是增函数，显然x=1时，该函数值为0
所以当x∈（0，1）时，Φ′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，Φ′（x）＞0
所以函数Φ（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
所以Φ（x）min=Φ（1）=1，所以a≤Φ（x）min=1即a∈（﹣∞，1）…（4分）
（2）由题意知道：h（x）=x2﹣ax+lnx．则
所以方程2x2﹣ax+1=0，（x＞0）有两个不相等的实数根x1，x2，且，
又因为，所以，且…（6分）
而h（x1）﹣h（x2）=
=
==═，（x2＞1）
设，则
所以，即…（8分）
（3）
所以=…（9分）
因为a∈（1，2），所以
所以当时，r（x）是增函数，所以当时，
，a∈（1，2）…（10分）
所以，要满足题意就需要满足下面的条件：，
若令，a∈（1，2），
即对任意a∈（1，2），＞0恒成立
因为φ′（a）==…（11分）
分类讨论如下：
①若k=0，则，所以φ（a）在（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意
②若k＜0，则，所以φ（a）在区间（1，2）递减，
此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．
③若k＞0，则，那么当时，假设t为2与中较小的一个数，即t={}，
则φ（a）在区间（1，min{}）上递减，此时φ（a）＜φ（1）=0不符合题意．
综上可得解得，即实数k的取值范围为…（14分）
点评：
本题考查导数的综合应用，属于较难的题目，注意与不等式恒成立的有关的参数取值范围问题常用分离参数来解决．