信号与系统教案——第二章.doc

东北电力大学
教 案 封 皮
开课单位

课程名称

授课教师

授课对象

选用教材
信号与系统
西安交通大学出版社
总学时
72
课次
6
第2章线性时不变系统
2.0 引言
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
教学目的
及要求

了解离散时间LTI系统卷积和的推导方法，掌握离散时间LTI系统卷积和的计算方法。

教学重点、难点及处理安排

离散时间LTI系统卷积和的计算

教学方式、
方法
讲授法
教学
内容
及时
间分
配
2.0 引言 10min
2.1 离散时间LTI系统：卷积和 80min
例题、练习题

详见下文

作业、思考题

习题2.3
习题2.4
习题2.5

教 案
内 容
备 注
2.0 引言
系统的基本性质两个性质——线性和时不变性在信号与系统分析中是最主要的。其理由是：第一，很多物理过程都具有这两个性质，因此都能用LTI系统米表征：第二，可以对LTI系统进行详细的分析。
LTI系统之所以能够深入分析的主要原因之一在于该类系统具有1.6.6节所说的叠加性质。这样，如果能够将LTI系统的输入用一组基本信号的线性组合来表示，就可以根据该系统对这些基本信号的响应，然后利用叠加性质求得整个系统的输出。

2.1 离散时间LTI系统：卷积和
2.1.1 用脉冲表示离散时间信号

让我们来看一下图2.1(a)的信号。

(2.2)
这个式子相应于把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是。譬如说，若是，单位阶跃序列，因为时，；而时，，则(2.2)式变为

这与1.4节所得结果(1.67)式是完全一致的。
(2.2)式称为离散时间单位脉冲序列的筛选性质。
2.1.2 离散时间LTI系统的单位脉冲响应及卷积和表示
(2.2}式筛选性质的重要性在于它把表示成一组加权的基本函数的叠加，这个极简单的基本函数就是移位单位脉冲，其中每一个在相应于k的单一时刻点上为非零，其值为1。一个线性系统对的响应就是系统对这些移位脉冲中的每一个的响应加权后的叠加；再者，时不变性又意味着一个时不变系统对移位单位脉冲的响应就是未被移位的单位脉冲响应的移位。将这两点结合在一起就可得到具有线性和时不变性的离散时间系统的卷积和表示。
更为具体明确些，现在来考虑某一线性(但可能为时变的)系统对任一输入式的响应。由(2.2}式可以将输入表示为一组移位单位脉冲的线性组合，令记为该线性系统对移位单位脉冲的响应，那么根据线性系统的叠加性质，该线性系统对输入的响应就是这些基本响应的加权线性组合。也就是说，

由此可知，如果己知一个线性系统对每一个移位单位脉冲序列的响应，则系统对任何输入的响应都可求出。一般来说，在线性系统中，对于不同的值，其响应相互之间是不必要非有什么关系不可的。但是，若该线性系统也是时不变的，那么这些对时间移位的单位脉冲的响应也都全互相作了移位。具体说来，因为是的时间移位，响应也就是的一个时移，即

为了简化符号，现将的下标除掉，而定义系统单位脉冲(样本)序列响应为

那么，对LTI系统而言，(2.3)式就变成
(2.6)
这个结果称为卷积和，并且(2.6)式右边的运算称为和的卷积，并用符号记作

(2.6)式意味着一个很重要的结果：:既然一个LTI系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲的响应来表示，那么LTI系统的单位脉冲响应就完全刻画了系统的特性。
例2.1（详见教材59页）

利用在每个单独输出样本上的叠加求和的结果，可以得出另一种有用的方法，即用卷积和来想象的计算。
例2.2（详见教材59页）

卷积计算举例：
例2.3（详见教材61页）
例2.4（详见教材61页）
除了利用图解法计算卷积外，还可以利用分析法来求解卷积和。

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7
第2章 线性时不变系统
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
教学目的
及要求

了解连续时间LTI系统卷积积分的推导过程，掌握连续时间LTI系统卷积积分的计算方法。

教学重点、难点及处理安排

连续时间LTI系统卷积积分的计算。

教学方式、
方法
讲授法
教学
内容
及时
间分
配
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分 90min
例题、练习题

详见下文

作业、思考题

习题 2.10
习题 2.11

教 案
内 容
备 注
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
与上一节讨论并导出的结果相类似，这一节的目的也是要利用一个连续时间LTI系统的单位冲激响应来对系统给出完全的表征。
2.2.1 用冲激表示连续时间信号
为了建立与离散时间筛选性质(2 .2)式对应的连续时间下的性质，先考虑用一申脉冲或者说阶梯信号来近似，如图2.12(a)所示。如同离散时间情况一样，

随着逐近于零，将愈来愈近似，最后极限就是，因此

(2.27)
和离散时间情况一样，(2.27)式为连续时间冲激函数的筛选性质。特别是若以，则

2.2.2 连续时间LTI系统的单位冲激响应及卷积积分表示
和离散时间情况一样，上一节所得出的表示就是把任意一个连续时间信号看作加权和移位脉冲的叠加。与上一节类似，
(2.29)
(2.30)
(2.31)
因为在2.2.1节已经证明，任何输入都可以表示为

直观上.就可以把这个式子看成是一组加权移位的冲激函数之“和”，这里对冲激的权是。借助于这种解释之后，（2.31)式就是系统对这些加权移位冲激函数响应的叠加，因此，根据线性，对的响应的权也是就是。
(2.31)式代表了连续时间情况下一个线性系统响应的一般形式，如果系统除了是线性的，而且还是时不变的，那么，

再次，为了符号上的方便，略去脚注，而定义单位冲激响应为

也就是是系统对的响应。这时，(2.31)式变为
(2.33)
(2.33)式称为卷积积分或叠加积分。它是与离散时间情况下的(2.6)式卷积和相对应的，并且表明了一个连续时间LTI系统的特性可以用它的单位冲激响应来刻画。两个信号和的卷积，以后就表示成

求卷积积分例题讲解：
例2.6(详见教材71页)；
例2.7(详见教材72页)；
例2.8(详见教材74页)；

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第2章 线性时不变系统
2.3 线性时不变系统的性质
教学目的
及要求

掌握线性时不变系统的性质

教学重点、难点及处理安排

线性时不变系统的可逆性、因果性及稳定性。

教学方式、
方法
讲授法
教学
内容
及时
间分
配
2.3 线性时不变系统的性质 90min
例题、练习题

详见下文

作业、思考题

习题2.13
习题2.15

教 案
内 容
备 注
2.3 线性时不变系统的性质

正如已经指出过的，这些表示的一种结果就是：一个LTI系统的特性可以完全由它的冲激响应来决定。要特别强调的是，一般来说这个结论仅对LTI系统成立。下面的例子将说明，一个非线性系统的单位冲激响应是不能完全表征系统的特性行为的。
例2.9（详见教材75页）
上面这个例子说明了这样一点，就是LTI系统具有一些其它系统不具备的性质。在本节的余下部分将研究这些性质中几个最基本和最重要的性质。
2.3.1 交换律性质
在连续时间和离散时间下，卷积运算的一个基本性质是：它满足交换律。这就是，在离散时间情况下有

在连续时间情况下

证明：（略）
2.3.2 分配律性质
卷积的另一个基本性质是：它满足分配律。这就是卷积可以在相加项上进行分配，即在离散时间情况下有

在连续时间下有

利用系统互联的解释见教材76页
例2.10（详见教材77页）
2.3.3 结合律性质
卷积的另一个重要而有用的性质是它满足结合律。这就是在离散时间情况下有

和在连续时间情况下有

利用系统互联的解释见教材78页。
2.3.4 有记忆和无记忆LTI系统
在1.6.1节己经指出，若一个系统在任何时刻的输出仅与同一时刻的输入值有关，它就是无记忆的。由(2.39)式可见，对一个离散时间LTI系统来说唯一能使这一点成立的就只有：对，。这时，其单位冲激响应为

式中是一个常数，卷积和就变为如下关系:

如果一个离散时间L'TI系统，它的单位脉冲响应对于不是全为零的话，这个系统就是有记忆的。
对于连续时间LTI系统，根据(2.40)式也能推出有关记忆和无记忆的类似性质。

2.3.5 LTI系统的可逆性
考虑一下冲激响应为的连续时间LTI系统，根据在1.6.2节的讨论，仅当存在一个逆系统，其与原系统级联后所产生的输出等于第一个系统的输入时，这个系统才是可逆的。

同样，在离散时间情况下，一个冲激响应为的LTI系统的逆系统的冲激响应也必须满足

例2.11（详见教材79页）
例2.12（详见教材80页）
2.3.6 LTI系统的因果性
一个因果系统的输出只决定于现在和过去的输入直。现在利用LTI系统的卷积和与卷积积分，可以把这一性质与LTT系统冲激响应的相应性质联系起来。对于一个离散时间LTI系统要是因果的，就必须与的无关，由(2.39)式可以看出，这就要求因果离散时间LTI系统的冲激响应满足下面条件：
， (2.77)
根据(2.77)式，一个因果LTI系统的冲激响应在冲激出现之前必须为零，这就与因果性的直观概念相一致。更一般的情况，一个线性系统的因果性就等效于初始松弛的条件；也就是说，如果一个因果系统的输入在某个时刻点以前是0，那么其输出在那个时刻以前也必须是0。要强调的是，因果性和初始松弛条件的等效仅适合于线性系统。
对于一个因果的离散时间LTI系统，(2.77)式的条件就意味着(2.39)式的卷积和变为

同理，如果
，
一个连续时间LTI系统就是因果的，这时卷积积分由下式给出：

2.3.7 LTI系统的稳定性
如果一个系统对于每一个有界的输入，其输出都是有界的，就说该系统是稳定的。
设一输入是有界的，其界为，即
，对所有的
现在把这样一个有界的输入加到一个单位脉冲响应为的LTI系统上，则按卷积和公式，响应输出的绝对值为

由此，如果单位脉冲响应是绝对可和的，即

那么就是有界的，因此系统是稳定的。这是个充分必要条件。
在连续时间情况下，利用LTI系统的单位冲激响应可以得出有关稳定性的类似结果。若单位冲激响应是绝对可积的，即

则该系统是稳定的。
2.3.8 LTI系统的单位阶跃响应
到现在为止可以看到，利用单位冲激响应来表示一个LTI系统，使我们对系统的性质可以得到非常简洁而清晰的表征；
除了单位冲激响应外，单位阶跃响应或也常用来描述一个LTI系统的特性，或是当或时的系统输出响应。根据卷积和的表示，一个离散时间LTI系统的阶跃响应就是单位阶跃序列与单位脉冲响应的卷积

然而，根据卷积的交换律，可以看成是输入为，系统的单位脉冲响应为时的响应。

一个离散时间LTI系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数。相反，一个离散时间LTI系统的单位脉冲响应就是它的单位阶跃响应的一次差分。
同理，在连续时间情况下， LTI系统的单位阶跃响应是它的单位冲激响应的积分函数，即

而单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数，

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授课对象

选用教材
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总学时
72
课次
9
第2章 线性时不变系统
2.4 用微分和差分方程描述系统
2.5 奇异函数
教学目的
及要求

掌握线性常系数微分方程的求解方法；
掌握线性常系数差分方程的求解方法；
了解奇异函数的概念、性质。

教学重点、难点及处理安排

线性常系数微分方程的求解方法；
线性常系数差分方程的求解方法；

教学方式、
方法
讲授法
教学
内容
及时
间分
配
2.4 用微分和差分方程描述系统 70min
2.5 奇异函数 20min
例题、练习题

详见下文

作业、思考题

习题2.17
习题2.31

教 案
内 容
备 注
2 .4 用微分和差分方程描述的因果LTI系统
一类极为重要的连续时间系统是其输入、输出关系用线性常系数微分方程描述的系统。这种形式的方程可以用来描述范围广泛的系统和物理现象。相对应的，一类重要的离散时间系统是其输人、输出关系用线性常系数差分方程描述的系统。
2.4.1 线性常系数微分方程
现在来考虑一个一阶微分方程

一般来说，为了求解一个微分方程，必须给定一个或多个附加条件；一旦这些条件给定，原则上就能得到一个用输人表示输出的显式表达式。对于附加条件的不同选择可以导致输人和输出间的不同关系。本书的绝大部分都是集中在将微分方程用于描述因果的LTI系统。
以例2.14为例来说明如何求解线性常系数微分方程，详见教材85页。
关于线性常系数微分方程及其表示的系统可以说明很重要的几点。
首先，对某个输入的响应一般都是由一个特解和一个齐次解(即输人置于零时该微分方程的解)所组成。该齐次解往往称为系统的自然响应。
其次，为了完全确定由微分方程所描述的系统输入和输出之间的关系，就必须给出附加条件。
在本例中已经说明，对大部分情况，对于由微分方程描述的系统都采用初始松弛的条件。值得强调的是，初始松弛条件并不表明在某一固定时刻点上的零初始条件，而是在时间上调整这一点，以使得在输人变成非零之前，响应一直为。
2.4.2 线性常系数差分方程
与连续情形相对应的离散时间方程就是阶线性常系数差分方程
(2.113)
这类形式的方程可以完全按对微分方程的类似解法来求解。具体地说，的解可以写成一个特解和一个齐次方程

解的和。和连续时间一样，(2.113)式没有用输人来完全表征输出。为此，必须给出某些附加条件。大多数情况下都用初始松弛的条件。
另一种方法：
(2.115)
(2.113)式或(2.115)式这样形式的方程称为递归方程
具体求解过程见例2.15（详见教材88页）。

2.4.3用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示
（略）

2.5 奇异函数

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10
第2章 线性时不变系统
实验课：离散时间系统时域分析实验
教学目的
及要求

1. 了解离散时间系统的基本概念；
2. 掌握离散时间系统的表示方法；
3. 掌握简单离散时间系统的计算机实现

实验要求

1. 掌握卷积的定义与系统的关系。
2. 用卷积实现简单系统。

教学方式、
方法
讲授法
教学
内容
及时
间分
配

例题、练习题

详见下文

作业、思考题

教 案
内 容
备 注
实验使用函数：conv，conv2
函数介绍：如果任意序列是无限长度的，就不能用MATLAB来直接计算卷积。MATLAB确实提供了一个内部函数conv来计算两个有限长度序列的卷积。conv函数假定两个序列都从n=0开始。
实验内容：

1）计算P98，2.4

x=[zeros(1,4),ones(1,6),zeros(1,11)];
y=[zeros(1,5),ones(1,12),zeros(1,4)];
z=conv(x,y);
i=1:41;
stem(i,z);

2）计算P98，2.6

i=-100:100;
x=(1/3).^(-1.*i).*(i<0);
h=(i>0);
z=conv(x,h);
k=1:401;
stem(k,z)

3）编程实现P91,例2.16

图2.34a
delta=0.0025;
incr=0.0005;
x=[ones(1,delta*2000+1).*(1/delta),zeros(1,(4-delta)*2000)];
x=x./sum(x);
i=0:incr:4;
h=exp(-2*i);
y=conv(x,h);
k=0:incr:8;
plot(k,y);
hold on

图2.34b
delta=0.1;
incr=0.0005;
j=0:incr:delta;
j1=delta-incr:-1*incr:0;
x=[j.*(1/(delta^2)),j1.*(1/(delta^2)),zeros(1,(4-2*delta)*2000)];
x=x./sum(x);
i=0:incr:4;
h=exp(-2*i);
y=conv(x,h);
k=0:incr:8;
plot(k,y);
hold on

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授课对象

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总学时
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课次
11
第2章 线性时不变系统
习题课
教学目的
及要求

教学重点、难点及处理安排

教学方式、
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讲授法
教学
内容
及时
间分
配

例题、练习题

详见下文

作业、思考题

教 案
内 容
备 注
一、 总结第二章主要内容
二、 习题讲解
习题2.3
习题2.11
习题2.13
习题2.28
习题2.29
习题2.24