必修四函数y=Asin(ωx+φ)的图像(二)(附答案).doc

(完整word)必修四函数y=Asin(ωx+φ)的图像(二)(附答案)

函数y＝Asin(ωx＋φ）的图像（二)

[学习目标］　1。会用“五点法”画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象。2.能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象，确定其解析式.3。了解y＝Asin(ωx＋φ）的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．　　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点一　“五点法"作函数y＝Asin（ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象．
利用“五点法”作出函数y＝Asin（ωx＋φ) （A〉0，ω>0）在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.
ωx＋φ
0

π
π
2π
x
－
－＋
－＋
－＋
－＋
y
0
A
0
－A
0

所以，描点时的五个关键点的坐标依次是(－，0)，(－＋,A），(－＋，0),(－＋，－A）,（－＋，0)．
若设T＝,则这五个关键点的横坐标依次为－，－＋，－＋,－＋T，－＋T.
思考　利用“五点法"作出函数y＝2sin（2x＋）一个周期上的图象,通常选取的五个点依次为 ．
答案　（－，0)，（，2），（，0)，(π，－2),（π，0)．
知识点二　由函数y＝Asin(ωx＋φ）的部分图象
求三角函数的解析式
(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键,一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过x轴上升的即为“第一零点”（x1，0)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx2＋φ＝，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ＝π，ωx5＋φ＝2π.
（2）由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：
①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标,可以直接解出ω和φ，或由方程（组）求出．
②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ。
（3）A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出．
思考　已知函数y＝sin（ωx＋φ）(ω〉0，｜φ|<）的部分图象如图所示,则ω＝ ，φ＝ 。
答案　2　－
解析　由图象知，＝－＝，
∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π（k∈Z),
φ＝kπ－（k∈Z）．
又｜φ｜<,∴φ＝－.
知识点三　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ）或
f（x)＝Acos（ωx＋φ）的奇偶性
关于函数f(x）＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ）的奇偶性有以下结论：
①f(x)＝Asin(ωx＋φ)是奇函数⇔f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于原点对称⇔f(0)＝0⇔φ＝kπ(k∈Z）．
②函数f(x）＝Asin(ωx＋φ）是偶函数⇔f（x)＝Asin（ωx＋φ)的图象关于y轴对称⇔f（0）＝A或f(0)＝－A⇔φ＝kπ＋(k∈Z)．
③函数f(x)＝Acos（ωx＋φ）是奇函数⇔f（x)＝Acos(ωx＋φ）的图象关于原点对称⇔f（0）＝0⇔φ＝kπ＋（k∈Z)．
④函数f（x)＝Acos(ωx＋φ)是偶函数⇔f（x)＝Acos(ωx＋φ）的图象关于y轴对称⇔f(0)＝A或f(0)＝－A⇔φ＝kπ（k∈Z）
思考　（1)若函数f（x)＝5sin(2x＋α）是偶函数，则α等于（　　）
A．kπ，k∈Z B．(2k＋1)π,k∈Z
C．2kπ＋,k∈Z D．kπ＋,k∈Z
(2）若函数f（x）＝cos（3x＋φ)是奇函数,则φ等于（　　）
A．－ B．kπ＋（k∈Z）
C．kπ(k∈Z) D．2kπ－(k∈Z）
答案　(1)D　（2)B
解析　（1）f（0）＝5sin α＝±5，∴sin α＝±1。
∴α＝kπ＋，k∈Z.
（2)f(0)＝cos φ＝0，∴φ＝kπ＋,k∈Z。

题型一　“五点法"作y＝Asin(ωx＋φ）的简图
例1　利用五点法作出函数y＝3sin（x－)在一个周期内的草图．
解　依次令－取0、、π、、2π,列出下表：
－
0

π

2π
x

y
0
3
0
－3
0

描点，连线，如图所示．

跟踪训练1　用“五点法”作出函数y＝2sin(2x－)的简图．
解　列表:
2x－
0

π

2π
x

y＝2sin（2x－）
0
2
0
－2
0

描点，连线得函数y＝2sin（2x－)在一个周期内的图象．
再将这部分图象向左或向右延伸kπ(k∈Z）个单位长度，就可得函数y＝2sin(2x－）(x∈R)的图象．

题型二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式．

解　方法一　以N为第一个零点，
则A＝－，T＝2＝π，
∴ω＝2，此时解析式为y＝－sin（2x＋φ)．
∵点N,
∴－×2＋φ＝0，∴φ＝，
所求解析式为y＝－sin
方法二　由图象知A＝，
以M为第一个零点，P为第二个零点．
列方程组解之得
∴所求解析式为y＝sin＝－sin（2x＋)．
跟踪训练2　已知函数y＝Asin（ωx＋φ)（A〉0，ω>0，|φ|〈)在一个周期内的部分函数图象如图所示，求此函数的解析式．
解　由图象可知A＝2，
＝－＝1，
∴T＝2,∴T＝＝2，∴ω＝π.
∴y＝2sin（πx＋φ)．
代入（，2）得2sin(＋φ)＝2，
∴sin（＋φ）＝1，
∴＋φ＝2kπ＋,φ＝2kπ＋，
又∵｜φ｜〈,∴φ＝，
∴y＝2sin(πx＋)．

题型三　函数y＝Asin（ωx＋φ)的对称性
例3　已知函数f(x）＝a2sin 2x＋（a－2）cos 2x的图象关于点中心对称，求a的值．
解　∵函数f（x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x的图象关于中心对称，∴f＝2－a＝0,∴a＝2.

跟踪训练3　已知函数f（x)＝a2sin 2x＋（a－2)cos 2x的图象关于直线x＝－对称，求a的值．
解　根据函数图象关于直线x＝－对称，
∴f＝f对一切x∈R恒成立．
取x＝得f（0)＝f。
代入得a－2＝－a2，解得a＝1或a＝－2.

数形结合思想在三角方程问题中的应用
例4　已知方程2sin（2x＋）－1＝a,x∈[－,］有两解，求a的取值范围．
分析　可先作出函数y＝2sin（2x＋）的图象，再结合直线y＝a＋1与图象交点个数判定a的取值范围．
解　构造函数y＝2sin(2x＋）及y＝a＋1，
用五点作图法作出函数y＝2sin（2x＋）在[－，］上的图象如图．
显然要使y＝a＋1与图象有两个交点，
只须－2〈a＋1<0或a＋1＝2，
解得－3<a<－1或a＝1，
即a的取值范围为{a|－3〈a<－1或a＝1｝．

1．已知函数f（x）＝sin（ω〉0）的最小正周期为π，则该函数的图象（　　)
A．关于点对称 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
2．若函数y＝sin（ωx＋φ）(x∈R,ω〉0,0≤φ<2π）的部分图象如图，则（　　）

A．ω＝，φ＝ B．ω＝,φ＝
C．ω＝,φ＝ D．ω＝,φ＝
3．函数y＝sin(x＋)的对称中心是 ，对称轴方程是 ．

4．作出y＝3sin在一个周期上的图象．

5．设函数f(x)＝sin（2x＋φ)(－π<φ<0），y＝f（x）的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1）求φ的值；
(2）求函数y＝f（x）的单调增区间．

一、选择题
1．已知简谐运动f（x）＝2sin(|φ｜〈）的图象经过点(0，1）,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π,φ＝ D．T＝6π，φ＝
2．已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asin ax的图象不可能是(　　)

3．若函数f（x)＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x)＝
f(－x），则有f(）等于（　　）
A．3或0 B．－3或0
C．0 D．－3或3
4．下列函数中，图象的一部分如图所示的是(　　)

A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos

5。函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A>0，ω〉0，｜φ|<）的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，则只要将f(x)的图象（　　)
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．如果函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，那么a等于(　　）
A. B．－ C．1 D．－1
二、填空题
7．把函数y＝2sin(x＋）的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小正值是 ．
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ） (ω>0，－π≤φ〈π)的图象如下图所示，则φ＝ .

9．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ）＋1（ω〉0,|φ|<π)对任意实数t,都有f（t＋）＝f(－t＋)，记g(x)＝Acos（ωx＋φ)－1，则g（）＝ .
10．关于f(x)＝4sin （x∈R)，有下列命题:
①由f(x1)＝f（x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍; ②y＝f（x）的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f（x）图象关于对称； ④y＝f(x)图象关于x＝－对称．
其中正确命题的序号为 ．
三、解答题
11．函数y＝Asin(ωx＋φ)（A〉0，ω〉0，|φ｜<）的最小值为－2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是3π，又图象过点(0,1)，求函数的解析式．

12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ) (A〉0，ω〉0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若φ∈。
（1）试求这条曲线的函数表达式;
(2)用“五点法"画出(1）中函数在［0，π］上的图象．

13．（1)利用“五点法"画出函数y＝sin（x＋)在长度为一个周期的闭区间的简图列表：
x＋

x

y

作图:

（2)并说明该函数图象可由y＝sin x（x∈R）的图象经过怎样变换得到的．

当堂检测答案
1．答案　A
2．答案　C
解析　由所给图象可知，＝2，∴T＝8.
又∵T＝，∴ω＝.
∵图象在x＝1处取得最高点，∴＋φ＝＋2kπ(k∈Z），∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∵0≤φ〈2π，∴φ＝.
3．答案　(2kπ－，0)，k∈Z　x＝2kπ＋π，k∈Z
4．解　列表：
x－
0

π
π
2π
x

π
π
π
π
3sin
0
3
0
－3
0

描点、连线，如图所示：

5．解　(1）∵直线x＝是函数y＝f（x）的图象的一条对称轴,
∴sin(2×＋φ）＝±1，∴＋φ＝kπ＋(k∈Z）．
∵－π<φ〈0，∴φ＝－。
（2)由（1）知φ＝－，因此f（x）＝sin(2x－)．
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z,
即kπ＋≤x≤kπ＋π（k∈Z)．
∴函数y＝sin(2x－）的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋]（k∈Z)．
课时精练答案
一、选择题
1．答案　A
解析　T＝＝＝6，代入(0，1）点得sin φ＝.
∵－<φ<，∴φ＝。
2．答案　D
解析　当a＝0时f(x）＝1,C符合，
当0<|a｜<1时T〉2π，且最小值为正数,A符合，
当|a｜〉1时T〈2π，且最小值为负数，B符合，排除A、B、C.
D项中，由振幅得a〉1，∴T<2π,而由图象知T>2π矛盾，故选D.
3．答案　D
解析　由f（＋x)＝f(－x）知，x＝是函数的对称轴，解得f（）＝3或－3，故选D。
4．答案　D
解析　由图知T＝4×＝π,
∴ω＝＝2。又x＝时，
y＝1，经验证,可得D项解析式符合题目要求．
5.答案　B
解析　由图象知，函数f(x)的周期T＝4×（－)＝＝,所以ω＝3。
因为函数f(x)的图象过图中最小值点(，－1），所以A＝1且sin（3×＋φ）＝－1，又因为｜φ|<，
所以φ＝,所以f（x)＝sin(3x＋)．
因为g(x)＝sin 3x，所以g（x)＝f(x－)．
为了得到g（x）＝sin 3x的图象,只需将f(x)的图象向右平移个单位长度，故选B.
6．答案　D
解析　方法一　∵函数y＝sin 2x＋acos 2x的图象关于x＝－对称，
设f（x）＝sin 2x＋acos 2x，则f(－)＝f（0），
∴sin（－)＋acos（－）＝sin 0＋acos 0.
∴a＝－1.
方法二　由题意得f（－－x）＝f（－＋x），
令x＝,有f(－)＝f(0),即a＝－1。
二、填空题
7．答案　
解析　把y＝2sin(x＋)的图象向左平移m个单位，
则y＝2sin（x＋m＋），其图象关于y轴对称，
∴m＋＝kπ＋,即m＝kπ－，k∈Z.
∴取k＝1，m的最小正值为.
8．答案　
解析　由图象知函数y＝sin（ωx＋φ)的周期为
2＝，∴＝,∴ω＝.
∵当x＝时，y有最小值－1,
∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．
∵－π≤φ〈π,∴φ＝。
9．答案　－1
解析　∵f(t＋)＝f(－t＋)，∴f（x）在x＝时，
取到最大值或最小值，即x＝时，sin(ωx＋φ)＝±1，
∴x＝时,cos(ωx＋φ）＝0,∴g（）＝－1。
10．答案　②③
解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z），
∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；
对于②，f(x)＝4sin利用公式得:
f（x)＝4cos＝4cos.∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，∴x＝π－，k∈Z。
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；
对于④，函数y＝f（x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z,∴x＝＋，k∈Z,∴④错．
三、解答题
11．解　由于最小值为－2,所以A＝2.
又相邻的最高点与最低点横坐标之差为3π.
故T＝2×3π＝6π，从而ω＝＝＝，
y＝2sin.
又图象过点（0,1），所以sin φ＝.
因为|φ|〈,所以φ＝。
故所求解析式为y＝2sin。
12．解　（1）由题意知A＝,T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1,∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋,k∈Z，又∵φ∈，∴φ＝，
∴y＝sin。
(2)列出x、y的对应值表：
x
－

π
π
π
2x＋
0

π
π
2π
y
0

0
－
0

描点、连线，如图所示：

13．解　(1)先列表,后描点并画图。
x＋
0

π

2π
x
－

y
0
1
0
－1
0

（2）把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋)的图象，再把所得图象的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin（x＋)的图象．或把y＝sin x的图象横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变),得到y＝sin x的图象,再把所得图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin [（x＋）］，即y＝sin（x＋)的图象．