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数学选修2——2课标解读
2.2推理与证明
1.知识内容的整体定位
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理与演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理）、试验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明包括逻辑证明和试验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学过知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
为了更好地理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
（1）归纳推理
归纳推理是针对一类事物而言的，如图（1）所示：A和B具有的共同的特性是否可以推广到整个S？这就是一个从局部到整体的过程。
例如，
1）在统计学中，由一部分数据的特征数，推测出总体数据的特征数。
2）解线性方程组时，由二元线性方程组的解法，推广到多元线性方程组的解法。
3）平面向量推广到空间向量再推广到向量空间。
（2）类比推理
类比推理是针对的两类事物，如图（2）所示，在A和B两类事物中，A类中有性质成立，Ｂ类中也有性质成立，A类中还有性质成立，那么B类中是否也有性质成立呢？通过两类事物的类比可以对事物的性质有更深刻的理解，并且可以帮助进行逻辑推理。
例如，
1）平面几何与球面几何的类比。
2）指数函数与对数函数的类比。
3）等式与不等式的类比。
4）有理数与无理数的类比。
5）数的运算与符号的运算的类比。
6）平面上直角三角形三边的关系与直三棱锥三个平面的关系的类比。
S

A
B
q

p

q?

p

A
B

（图1） （图2）
《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并经进一步寻求证据、给出证明或举出反例”。也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现——猜想——证明”，因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程，发展学生的探究和创新精神。
（3）对于“合情推理”和“演绎推理”，要通过具体的实例理解合情推理和演绎推理，不追求对概念的抽象表述。模块中设置的证明问题应选材于学生已学过的数学实例和生活中实例，了解和情推理的含义……体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理，因此，应结合教材提供的具体实例组织教学，补充的实例也应该以“已经学过的数学实例和生活中的实例”为准，对证明的问题的难度也要加以控制。
（4）结合已经学过的数学实例，让学生了解直接证明和间接证明的思考过程、特点。
已知条件
新的结论
与要证明的结论是否吻合？
结束
综合有关的公理、定理
和已经得到的结论

是
否
直接证明——综合法
直接证明——分析法
要证明的结论论论
得到使上面结果成立的
充分条件——新结果
在已知条件下新结果是否成立？
结束
结合有关的公理、定理
和已经得到的结论

是
否
用新结果替代要证明的结果

要证明的结论
否定要证明的结论
把“否定要证明的结论”作为条件件
得出新的结论
结合相关的公理、定理或已得到的结论
是否与已知条件或公理、定理矛盾
结束
是
否
间接证明——反证法
直接证明——数学归纳法：

判断即（或是成立的
假设命题成立其中，（或）
证明也成立
命题对所有的都成立
结合有关的公理、
定理或已经得到的结论

《标准》对“了解和情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；了解直接证明的两种基本方法和间接证明的一种方法”的要求是阶段性要求，“体会并认识合情推理在数学发现中的作用，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯”的要求是终结性要求。
2.课程标准的要求
（1）合情推理与演绎推理
① 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
② 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
③ 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
（2）直接证明与间接证明
① 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
② 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
（4）数学文化
① 通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
② 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
3.课程标准要求的具体化和深广度分析
（1）如何认识“了解合情推理的含义”
对合情推理的含义的认识是指通过具体实例的推理过程的分析、体会、概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法。
例如，歌德巴赫把在数学研究中观察到的式子在形式上改写成：，发现了规律：
偶数=奇质数+奇质数，于是他产生了一个想法：10，20，30，都是偶数，那么其他的偶数是否也有类似的规律呢？他进行了特例的验证，概括出特例的规律特征，提出了猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这个猜想的提出过程就是运用了经历由部分到整体、由个别到一般的归纳推理过程。
又如：在研究球体时，类比圆，发现球存在一些与圆类似的特征（如都具有完美的对称性，都是到定点的距离为定长的点集），因此，我们推测对于圆的特征，球也可能具有。如圆有切线推测球有切面等等。这种推理过程是由两类对象具有的类似特征，由其中一类对象具有的某些已知特征推测另一类对象也具有这些特征，是由特殊到特殊的类比推理过程。
（2）如何认识“能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义
“能利用归纳和类比等进行简单的推理”是指：对给定的具体问题，能够通过计算、分析、比较、概括、推广、归纳、观察、推测、类比等手段或方法完成简单的推理。
例如：已知数列的第1项，且，试归纳出数列的通项公式。可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项，观察数列的前几项和序号的关系，找出规律和共同特点，归纳出数列的通项公式。
“体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义是指体会并认识合情推理具有猜测和发现新结论，探索和提供解决问题的思路和方法的作用；例如欧拉公式的发现就是在探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系时，运用合情推理发现的。
（3）如何认识“体会演绎推理的重要性”的含义
演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式。在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。能够运用演绎推理的“三段论”的思维模式证明数学问题，获得数学结论。
例如：证明函数在上是增函数。大前提是增函数的定义，小前提是，满足增函数的定义，于是根据演绎推理的“三段论”，得在上是增函数。
（5）如何认识“了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异”的含义
归纳与类比是常用的合情推理。从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得结论看，合情推理的结论只是猜测，未必可靠，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。合情推理与演绎推理都是认识世界的过程中需要的重要的思维方式，两者紧密联系、相辅相成。
（6）如何认识“了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点”的含义
“了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点”是指通过实例，对已学过的数学知识的证明方法的思考过程与特点进行分析与概括，即：综合法是“顺推法或由因导果法”，分析法是“逆推法或执果索因法”。
（7）如何认识“了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点”的含义
“了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点”是指要明白反证法的适用情形和使用的逻辑规则，特别是明确应用逆向思维，推出与已知条件或假设或定义、公理、事实等矛盾是反证法的思考过程的特点。
（8）如何认识“了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”的含义
“了解数学归纳法的原理”的含义是指了解数学归纳法的适用范围，明确数学归纳法的两个步骤（“归纳奠基”和“归纳递推”）的作用和数学归纳法证明时，只有把两个步骤的结论结合起来，才能判断对所有自然数都成立，两个步骤是缺一不可的。
“能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”的含义是指正确使用数学归纳法证明数学命题，特别是在第二步证明时，必须使用假设推出结论。
（9）如何认识“体会公理化思想”的含义
“体会公理化思想”的含义是指通过介绍实例（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），使学生了解数学知识的产生和发展过程，体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步的作用，进而发展学生的探究和创新精神。
4.教学要求
（1）恰当创设情境，促进学生的自主探索
合情推理并非盲目地、漫无边际地胡乱猜想，它是以数学中某些已知事实为基础，通过选择恰当的复习结构材料创设情境，引导学生观察。体现知识的发生、发展过程，促进学生自主探索。并尽量将学生所熟悉的知识，通过归纳、类比的思想，逐步推广到未知的知识领域。在中学数学的教学实践中，通过恰当创设情境，引导学生观察；精心设计实验，激发学生思维；仔细设计问题，激发学生猜想；利用类比探讨，加深知识理解；利用数学归纳，巩固特殊到一般思维；利用演绎证明，揭露蕴涵性质等渐进地培养学生的数学思维意识和合情推理能力。
例 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。
P
E
F
D

A
B
C

考虑到直角三角形的两条边互相垂直，所以我们选取有三个面两两垂直地四面体，作为直角三角形的类比对象。
让学生分析比较：

四面体
两边交成1个直角
3个面在一个顶点处构成3个直二面角
直角边
面，和的面积和
斜边
面的面积

推测出结论：再用综合法证明。体现出由推理到证明探究的完整过程。
（2）教学中要让学生感受探究的过程
通过观察问题和从问题发现到对问题解决的整个思维过程，让学生真实地感受到数学的创造过程与任何其他学科的创造过程是一样的，它同样需要经历观察、试验、归纳结论，最后再加以严格证明的一个完整的归纳推理的思维过程。
例如：关于凸多面体的“欧拉公式”的探究思路。
（3）重视数学文化，让学生感受演绎推理，初步体会公理化思想方法
中学数学教材基本上是以演绎推理作为主要的推理模式，运用最普遍是“三段论”式的结构，它由两个前提（分别称为大前提、小前提）和一个结论构成。大前提是具有一般性的原理，如已知的公理、定理、定义、性质等；小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物，如命题中给出的已知条件；结论是根据两个前提推出的判断。其模式为：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
尽可能地选取原始概念和一组不加证明的原始命题（公理、公设），以此为出发点，应用演绎推理，推出尽可能多的结论的方法，称为公理化方法。
5.重、难点分析
推理与证明贯穿高中数学的整个体系，它的系统学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领作用。
合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和构建知识体系的作用，是公理化体系中的基本推理方法。两者紧密联系、相辅相成，它们的学习有利于培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力，形成和发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在教学发现中的作用，体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。因此准确把握概念，理解和情推理、演绎推理的联系与区别，理解直接证明与间接证明的方法和步骤是重点。
如何通过对命题进行观察、比较、分析、类比、归纳，运用适当的方法对命题给予证明是难点。
导数及其应用
这部分内容分别在选修系列1—1和选修系列2—2中学习。其中，对导数概念的认识、导数在研究函数性质中的应用，以及生活中的优化问题举例等内容的学习和教学要求是一样的。稍有区别的是在选修系列2—2中，增加了定积分与微积分基本定理的内容；此外，对运算的要求略有提高。
微积分的内容在我国的中学教材中几进几出，分析其原因，除了高考的影响外，主要是定位不当。主要问题大致有：①作为大学微积分内容的一种缩编，简单下放；②先讲极限概念，把导数作为一种特殊的极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；③无论是导数概念，还是导数的应用，更多是作为一种规则来教、来学，影响了对导数思想和本质的认识和理解。这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎。以下就《标准》对这部分内容的教育价值、定位、处理上的变化和变化的缘由作进一步的诠释。
一、教育价值
1.促进学生全面认识数学价值
微积分是全面认识数学价值的一个较好的载体。随着科技的进步和社会发展，无论是中学毕业后直接步入社会还是继续进入高一级学校学习，都应对微积分的基本思想有所了解。尤其是变化率的概念，在现代社会中随处可见（如运动速度、绿地面积增长率、工厂“三废”的排污率、人口的增长率、汽油的使用率等等），“导数及其应用”的学习可以帮助学生认识变化率，认识平均变化率与瞬时变化率的区别与联系，并对在实践中如何运用它处理优化问题有所了解。此外，通过“导数及其应用”的学习（包括阅读材料、实习作业等多种方式），还可体会人类文明与科技、社会发展对微积分创立的促进作用，以及微积分的创立在人类文化发展中的意义和价值。总之，“导数及其应用”的学习将促进学生全面认识数学的价值，包括应用价值、科学价值、文化价值。
2.使学生对变量数学的思想和方法有新的感受
如果说，“数”是用来描述静态事物的，函数是对运动变化的动态事物的描述，体现变量数学在研究客观世界中的重要作用，那么，可以说，导数就是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决极大极小、最大最小等实际问题，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具。通过学习导数，可以从中体验研究和处理不同对象所用的不同函数概念和相关理论，以及变量数学的力量。
3.发展高中学生的思维能力
极限是一种重要的数学思想之一，也是人们认识世界的一种重要的思维模式，它和我们以前的思维模式有很大的不同。导数就是一种特殊的极限，在现实生活中，它有着非常广泛的应用。在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从平均变化率到瞬时变化率，从有限到无限的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维模式，提高中学生的思维能力。
4.为学生进一步学习微积分打下基础
在微积分的学习中，将会遇到各种不同形式的极限，如数列的极限、函数的极限，而连续、导数、高阶导数、定积分、线积分、面积分等概念根本地都是通过极限来定义的。在高中阶段，学生将通过丰富的具体实例，像速度、加速度等，在经历了从平均变化率到瞬时变化率的过程中，理解导数这种特殊的极限，使学生不仅可以理解导数应用的广泛性，也可以通过这些具体的实例理解极限，为进一步学习其他形式的极限，进一步理解极限的理论做一定的铺垫。
二、《标准》对“导数及其应用”内容的基本定位
1.强调对数学本质的认识，对导数数学本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。
2.全面体现数学的价值，包括应用价值。了解导数是事物变化快慢、研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题的有力工具，即导数的广泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值，即人类文明与科技、社会的发展对微积分创立的促进作用，以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义和价值。
3.体现数学的教育价值。总之，要体现新一轮课程改革的理念——知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机整合，具体到数学课程来说，就是要充分体现数学的价值和数学在利用数学的特点育人方面、在推动社会发展方面的价值。
三、处理方式上的变化及变化的理由
与原有教材相比较，《标准》在理念、编排、内容选择的处理上都有很大的变化，主要表现在：
1.突出导数概念的本质。以往教材在编排上从极限概念开始学习，学生对极限概念认识和理解的困难，影响了对导数本质的认识和理解。因此，《标准》在这部分的处理上有了很大的变化，不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念；同时加强对导数几何意义的认识和理解。例如，通过问题“跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的的速度”，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念，为抽象出导数概念做准备。
假设运动员相对地面的高度Ｈ与起跳后的时间ｔ之间的函数关系为
，那么在２秒时运动员的速度（瞬时速度）为多少？
我们会求的是该运动员在某段时间内的平均速度，如２秒到２.１秒
（记为［２，２．１］的平均速度为
同样，可以计算出２秒之后某时间间隔内，如，，…的平均速度，也，可以计算出２秒之前某时间间隔内，如，，…的平均速度，为更便于学生从中观察中发现规律，可以把计算结果列出来。（用计算机）
由数值变化可以看出，但时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常数，这个常数（13.1）就是该运动员在2秒时的速度。
还可以通过增长率、膨胀率等问题，让学生经历平均变化率到瞬时变化率的过程，并通过提出恰当的问题，使学生学习瞬时变化率的必要性，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。
2.强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。
在以往微积分的教学中，更多的是要求学生会计算导数，会按步骤求极大（小）值、最大（小）值，而忽略了导数作为一种通法的意义和作用。为了使学生不仅会计算，而且能真正地感受在研究函数性质中意义的作用，尤其是与初等方法相比较，处理相应问题中作为通法的一般性和有效性，以及导数在处理和解决客观世界变化率问题、最优化问题中的广泛作用。
3.淡化计算.针对以往这部分教学中的问题。以及《标准》对这部分内容的定位——强调对导数本质的认识，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。因此，在处理导数的计算时，首先对几个常见的函数（如：
），用导数定义求出它们的导数，然后直接给出其它基本初等函数的导数以及导数的运算法则，只要求学生会用基本初等函数的导数以及运算法则来计算导数，而且明确指出“要避免过量的形式化运算练习”。与选修系列1—1相比，选修系列2—2对运算的要求略有提高，如增加了求简单复合函数（仅限于形如的导数。
4.反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用。以往教材和教学中对导数几何意义的处理和要求也是较弱的，《标准》提高了对导数几何意义以及用导数几何意义去解决问题的要求，其目的一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现几何直观这一重要思想方法对于数学学习的意义和作用。
5.关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合。“算法”是高中课程新增加的内容，《标准》明确指出：渗透算法思想是算法学习的一个重要方面。与信息技术的有机整合也是《标准》的一个基本理念，对此，可以在阅读材料中，通过介绍用切线法求方程的近似解，来渗透算法思想，以及与信息技术的整合。
四、选修系列1和选修系列2中不同的地方及其理由
选修系列2—2比选修系列1—1增加的地方是：①关于导数的运算中，常见函数的导数增加了求两个函数的导数，增加求简单复合函数导数（仅限于形如；②增加了定积分概念和微积分基本定理。理由是考虑到理科对数学的实际要求。
导数及其应用（选修2—2）课程的定位与变化
1.知识内容的整体定位
函数是贯穿数学课程中的主线之一，也是高中数学最基本的研究对象。在必修数学中，学生在义务教育阶段的基础上对于函数有了进一步的认识，学习了一些常用的函数模型（如，指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等），函数的应用，函数与不等式、方程的关系，研究函数的单调性、周期性等性质。导数及其应用这部分内容将在必修数学的基础上，提供研究函数的一种新工具。
高中数学课程中的导数及其应用与高等数学中的微积分不同。微积分的基本问题是研究函数的变化和函数的积分，从几何上来说，函数的积分就是讨论函数图像围成的面积。变化率是反映函数变化快慢的基本概念，积分是用来刻画“求和”的基本概念，根据曲线求面积、根据压强求压力、根据力求功等都是“求和”，这些是微积分的基本思想。微积分基本定理是连接变化率与积分的桥梁。这些是牛顿、莱布尼茨创造的微积分的核心内容，是微积分的本质所在。在历史上，牛顿、莱布尼茨的这些工作是数学发展的里程碑，极大地推动了科学技术的发展，也为数学的发展开拓了广阔的空间和领域。
牛顿和莱布尼茨创立微积分时，还没有极限理论，没有形成严格的微积分的科学体系。
微积分经过长期的发展形成了微积分的学科体系。这个学科体系的基本框架是：
实数——函数理论——极限理论——连续理论——导数与微分——积分理论——微积分基本定理——级数理论——多元微积分
上述框架成为大学微积分教科书的范式，虽然，不同的教科书可能有不同的组合方式，但是基本上遵循上述体系和链条。
在高中阶段，导数及其应用是介绍微积分的基本思想，而不是介绍压缩的微积分学科体系，这两者的定位是不同的。
在本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，刻画现实问题，理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。
本部分内容的整体框架如下：
导数及其应用
导数背景
导数概念
导数运算
导数在研究函数中的应用
导数符号与函数单调性的关系
函数在日常生活中的应用
用导数刻画变化
解决最优化问题
数学文化
微积分创立的时代背景
微积分在人类文化发展中的意义和价值
定积分与微积分基本定理
定积分的实际背景预定积分的基本思想
微积分基本定理的意义

2.标准要求
（1）导数概念及其几何意义
① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
② 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
① 能根据导数定义求函数，，，，，的导数。
② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数。
③ 会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
（4）生活中的优化问题举例
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
（5）定积分与微积分基本定理
① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。
（6）数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。
导数的概念应从其实际背景加以引入，教学中可以通过研究曲线的切线、增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，突出几何形象描述，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的认识过程，得到对导数概念形象的理解。
在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。
利用导数判断函数的单调性是导数应用的重点，也是本部分内容的重点之一。教学中应选取具体的函数（如：），利用它们的图象，借助几何直观，了解函数的导数与函数单调性之间的本质联系，学会用导数研究函数的单调性，进而完成对函数的最值（极值）以及生活中的优化问题的教学。在学习利用导数研究函数性质的同时，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵，帮助学生理解导数的背景、思想和作用。
教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
本章内容的教学，整体上要贯穿用形象展示抽象，用微观说明宏观，注重研究问题的方法和学生认识的过程，注重培养学生的研究探索能力，注重数形结合思想的渗透。
3.课程标准要求的具体化与深广度分析
对于导数概念的引入，要提供丰富的实例，通过实际问题中的平均速度、平均变化率等概念，导函数的平均变化率，再到函数在一点处的变化率——导数。在引入导数概念时，不需要以极限概念为基础。
计算导数也要突出平均变化率，把平均变化率作为函数在某点处的瞬时变化率的近似逼近，当自变量增量取0时由近似达到了精确。对于导数的运算，只要求对几个常见的函数“，，，”，能根据导数的定义求出它们的导数，对于基本初等函数的导数直接给出，不要求推导。导数运算法则和复合函数的导数法则都是通过具体函数导数运算满足的规律中归纳出来，不要求做一般推导和证明。导数表中导数公式也是通过归纳得出，不要求记忆，只要求会用。导数运算要把握度，把导数作为刻画变化率和研究函数的工具，而不要单纯做求导数的练习。特别要避免过量的形式化运算练习。
对导数的应用，要注意用导数描述实际问题中的变化率、用导数研究实际问题的函数模型的变化以及最大最小值问题两个方面。
对于定积分，只要求借助直观体会定积分的基本思想，不必给出定积分的严格定义。对于微积分基本定理，也只要求通过实例概括出微积分基本定理的内容，借助直观了解其含义，在这里，不能也不需要给出严格证明。
不出微分、不定积分的概念。
4.教学要求
（1）《标准》与《大纲》要求的对比与说明
教学内容
《标准》目标表述
《大纲》目标表述
导数概念及其几何意义
① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
② 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
导数的运算
① 能根据导数定义，求函数，，，，的导数。
② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
③ 会使用导数公式表。
熟记基本导数公式（为有理数）
的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，会求某些简单函数的导数
导数在研究函数中的应用
① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系；了解函数在某点取得极值的必要性和充分性（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。
生活中的优化问题举例
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

定积分与微积分基本定理
① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。
通过微积分初步的教学，了解微积分学产生的时代背景和历史意义，进行客观事物相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育
《标准》与《大纲》要求上有较大差异。《大纲》要求理解导数的概念，熟记基本导数公式，掌握两个函数和、差、积 、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，了解微积分概念，会求某些简单函数的微分等，可见，《大纲》对于概念与运算上要求较高。《标准》中不要求出导函数和微分的概念，微分的概念在大学微积分的学习中也是一个难点，在高中，只要求对几个常见的函数“，，，，”，能根据导数的定义求出它们的导数，对于基本初等函数的导数直接给出，不要求推导。导数运算法则和复合函数的导数法则都是通过具体函数导数运算满足的规律中归纳出来，不要求做一般推导和证明。导数表中导数公式也是通过归纳得出，不要求记忆，只要求会用。对于定积分，只要求借助几何直观体会定积分的基本思想，不必给出定积分的严格定义。对于微积分基本定理，也只要求通过实例概括出微积分基本定理的内容，借助直观了解其含义，在这里，不能也不需要给出严格证明。《标准》增加了导数在实际中的应用的内容，通过是利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。因此，《标准》中强调对导数实质的理解以及导数的应用，淡化导数运算技巧的公式的记忆。
（2）教学要求
1）突出背景
在导数及其应用的教学中，要突出导数的实际背景。这里，不是把导数作为一中特殊的极限来处理，而是要通过实际背景和具体应用实例，例如，膨胀率、加速度、增长率等实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念，同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。定积分的引入也要求突出求曲边梯形面积、变力做功等背景。
2）突出建立导数概念的过程
导数概念的引入，要突出实际问题中由平均变化率到瞬时变化率的过程，几何中从割线到切线的过程以及从函数某一点附近的平均变化率到某一点处的变化率的数学描述的过程。
3）把握标准的要求，不必做拓展
标准中不要求导函数和微分的概念，只要求会用导数的定义求一些简单函数“，，，，”，能根据导数的定义求出它们的导数，对于基本初等函数的导数直接给出，不要求推导。导数运算法则和复合函数的导数法则都是通过具体函数导数运算满足的规律中归纳出来，不要求做一般推导和证明。导数表中导数公式也是通过归纳得出，不要求记忆，只要求会用。对于微积分基本定理，也只要求通过实例概括出微积分基本定理的内容，借助直观了解其含义，在这里，不能也不需要给出严格证明。
4）突出阅读理解能力的培养
导数应用的关键是理解实际问题的意义及其所蕴含的关系，因此读懂问题是关键。
5）鼓励学生自己收集资料
数学文化内容，主要让学生自己通过查阅资料收集微积分产生的时代背景以及重要人物，体会微积分对人类文化发展的作用。
5.重、难点分析
导数的概念是本部分的重点。
导数的概念，运用导数解决一些实际问题是本部分的难点。
导数是高等数学的基础，是微积分的核心概念之一，也是研究函数的单调性、极值等性质的有力工具；同时导数来源于实际，又服务于实际，利用导数还可以解决现实生活中的优化问题。因此导数概念的理解是本部分的重点。
由于导数可以描述任何事物的瞬时变化率，而瞬时变化率又借助于逼近的思想来刻画，学生对无限逼近的认识有一定的困难，这使得学生准确理解导数的概念，体会导数思想极其丰富的内涵需要一个过程。同时，利用导数解决优化等问题的过程是一个典型的数学建模过程，需要熟悉实际问题的背景和对其中蕴含的数量关系进行分析和抽象。微积分基本定理的基本思想，反映了微分（导数）与积分的联系，涉及导数和定积分两个概念。因此，对导数概念的理解以及微积分基本定理含义的理解及导数、定积分思想方法的应用是本部分的难点。
2.3数系扩充与复数的引入
1.知识内容的整体定位
根据课程标准的设计思路，对每一部分都有一个整体定位。为了更好地把握数系的扩充和复数的引入的要求，首先须明确整体定位。标准对这部分的定位如下：
“数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。本部分知识的教学，可结合数学文化的学习，进行数系扩充的介绍，使学生感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。”
为了更好地理解整体定位，需要明确下面几方面的问题：
（1）“数系的扩充和复数的引入”在情感、态度、价值观以及过程与方法的定位上，关注的是以问题为载体，激发学生对于数系扩充原动力的认识，初步体会数学的文化价值，促进学生科学观的形成。“数系的扩充和复数的引入”不能认同为“数的发展史”，二者内容和目标都不同，这一点须教师注意。
（2）“数系的扩充和复数的引入”在知识的定位上，限定了这部分内容是复数最为基础性的知识。对于高中生来说，学习一些复数的基本概念、复数的几何表示、复数代数形式的四则运算及加减法的几何意义是十分必要的，可以使高中毕业生对复数的概念与运算初步地有一个较为完整的认识。
（3）“数系的扩充和复数的引入”在技能定位上，值得指出的是对复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧的训练。
2.课程标准的要求
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。
3.课程标准要求的具体化和深广度分析
（1）如何认识“数系的扩充”的意义
一