七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型.doc

平行线四大模型
平行线的判定与性质
l、平行线的判定
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．
判定方法l：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
简称：同位角相等，两直线平行．
判定方法2：
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简称：内错角相等，两直线平行，
判定方法3：
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：
若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
另有平行公理推论也能证明两直线平行：
平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、 平行线的性质
利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反
过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同
旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．
性质1：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
简称：两直线平行，同位角相等
性质2：
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简称：两直线平行，内错角相等
性质3：
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶 平行线四大模型
模型一“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、 CD内部

“铅笔”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、 CD内部

“猪蹄”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

模型三“臭脚”模型

点P在EF右侧，在AB、 CD外部

“臭脚”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

点P在EF左侧，在AB、 CD外部

“骨折”模型
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

巩固练习 平行线四大模型证明
（1） 已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°
.

（2） 已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．

（3） 已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.

（4） 已知 ∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .

模块一 平行线四大模型应用
例1
（1） 如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．

(2) 如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是 ．

(3) 如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .

(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．

练
(1) 如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为 ．

(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）
如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .

例2
如图，已知AB∥DE，BF、 DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、 ∠F的关系.

练
如图，已知AB∥DE，∠FBC=∠ABF，∠FDC=∠FDE.
(1) 若n=2,直接写出∠C、∠F的关系 ；
(2) 若n=3，试探宄∠C、∠F的关系；
(3) 直接写出∠C、∠F的关系 （用含n的等式表示）.

例3
如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .

练
如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.

例4
如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．

练
（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、 CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点 F则∠F的度数为（ ）．

A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°

模块二 平行线四大模型构造
例5
如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则
∠GHM= .

练
如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .

例6
已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．

练
已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.

(1)如图(l)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An，∠B1、∠B2…∠Bn-1之间的
关系．
(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．
(3)如图(3)，已知MA1∥NAn，探索∠A1、∠A2、…、∠An之间的关系．

如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．

挑战压轴题
（粮道街2015—2016 七下期中）
如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．
(1) 若∠EFB=55°，∠EDP= 30°，求∠MPD的度数；
(2) 当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的平分线交于Q,问：是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；
(3) 当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．

第一讲 平行线四大模型（课后作业）
1.如图，AB // CD // EF , EH⊥CD于H ,则∠BAC+∠ACE +∠CEH等于( ).

A. 180° B. 270° C. 360° D. 450°
2．（武昌七校2015-2016七下期中）
若AB∥CD，∠CDF=∠CDE，∠ABF=∠ABE，则∠E：∠F=( )．

A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:2

3.如图3，己知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .

4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．

5． 如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .

6． 如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .

7． 如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .

8． 如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为 ．

9.如图，若AB∥CD， ∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.

10．已知，直线AB∥CD．
(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；

（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；

(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是 .

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