空间几何体的表面积与体积练习题.及答案.doc

仅供个人参考
For personal use only in study and research; not for commercial use

空间几何体的表面积与体积专题
一、选择题
1．棱长为2的正四面体的表面积是(　C　)．
A. B．4 C．4 D．16
解析　每个面的面积为：×2×2×＝.∴正四面体的表面积为：4.
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 (　B　　)．
A．2倍 B．2倍 C.倍 D.倍
解析　由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的2倍．
3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为(　B　)．
A. B. C. D.
解析　根据三视图的知识及特点，可画出多面体
的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去
一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积
V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝.
4．某几何体的三视图如下，则它的体积是(　　A)
A．8－ B．8－ C．8－2π D.
解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－.
5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(　A)A．24－π B．24－ C．24－π D．24－
据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝24－.
6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　C　)
A. cm2 B. cm2
C. cm2 D. cm2
解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的表面积为2π××1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－＝64－.故其表面积是94＋.
7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(　　　C)．
A．3 B．2 C. D．1
解析　由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中 ，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×4＝.
二、填空题
8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．解析　依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝.
9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_ 3∶2_______．
解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是πr3，所以圆柱的体积和球的体积的比是＝3∶2.
10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝.
11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____2πR2____．
解析　由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2.
12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为___13_____cm.
解析　根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)．
三、解答题
13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积．
解析　(1)侧视图同正视图，如图所示：(2)该安全标识墩的体积为
V＝VPEFGH＋VABCDEFGH＝×402×60＋402×20＝64 000(cm3)．
14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.
解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为，所以V＝1×1×＝.
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，
S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2.
15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.
解析　由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、
右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示．
(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝＝4.故几何体的侧面面积为：S＝2×＝40＋24.
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）. .
解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，则2πr=a，，底面圆的面积是，于是全面积与侧面积的比是，
2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）.
2．解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是，剩余部分的体积是，
3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是 。
3．答案：148 cm2
解：底面菱形中，对角线长分别是6cm 和8cm，所以底面边长是5cm，
侧面面积是4×5×5=100cm2，两个底面面积是48cm2，
所以棱柱的全面积是148cm2.
4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，则它们的高之比为 。
4．答案：2：
解：设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，
由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式，得，，
所以它们的高的比是.
5．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_________
5．答案：1cm3
解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm，2cm的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是1，高为3，
则它的体积是×1×3=1cm3.
6．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b 旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为
6．答案：
解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=πb2a，矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=πa2b，所以两个几何体的体积的比是
16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
解析　(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，
BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC
＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝··a ·x＝
≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)．∴该四面体的体积的最大值为a3.
(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，∴S表＝2×a2＋2××a×
＝a2＋a×＝a2＋＝a2.

不得用于商业用途
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
 только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях. 

以下无正文