特殊平行四边形知识点总结及题型.doc

新天宇教育授课讲义
授课科目
初三上册
授课时间
（2016.9．11）
授课内容
特殊的平行四边形

1

基
础
知
识
1. 基础知识点(概念、公式）
1.菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．
2.矩形

矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；
矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)
矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．
矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．
矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形判定方法4： 对角线相等且互相平分的四边形是矩形．

2.正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形
②有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形的判定方法：
(1)有一个角是直角的菱形是正方形；
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
注意：1、正方形概念的三个要点：
（1）是平行四边形；
（2）有一个角是直角；
（3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

2.本节课的重点、难点
（1）对平行四边形和特殊的几种图形的性质要注意理解
（2）对证明特殊平行四边形的方法进行掌握
3.学生容易混淆的知识点
（1）各种四边形对角线的特点。
（2）各种特殊平行四边形的证明方式。
4.针对不同层次学生的题型
例1.矩形

1已知：如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．

2 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求证：CE＝EF．

3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

4、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．
(1)求证：AB=CF；
(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．

例2.菱形
1  已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
　求证：∠AFD=∠CBE．

2已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

3、如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形.

4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，
若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

5． （10湖南益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

(1)求线段的长．

6、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例3.正方形
1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
求证：OE=OF．

2

精
讲
例
题

2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：四边形PQMN是正方形

3. 如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，，BN平分并交MN于N。求证：MD=MN。

4

课
后
作
业
作业：
1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（    ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（    ）；
A．5cm和7cm
B．18cm和28cm
C．6cm和8cm
D．8cm和12cm
3．如图，平行四边形ABCD中，经过两对角线交点O的直线分别交BC于点E，交AD于点F. 若BC=7，CD=5，OE=2，则四边形ABEF的周长等于（    ）.

A．14
B．15
C．16
D．无法确定
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形CODE的周长（　　）
A．4      B．6        C．8        D．10
5．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）

A．15°或30°
B．30°或45°
C．45°或60°
D．30°或60°
6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC、BD交于点O，菱形ABCD周长为32，点P是边CD的中点，则线段OP的长为（   ）

A．3    B．5       C．8    D．4
7．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P，作EF∥BC，HG∥AB，若四边形AEPH和四边形CFPG的面积分另为S1和S2，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1=S2
B．S1＞S2
C．S1＜S2
D．不能确定

8．矩形的两条对角线所成的钝角为120°，若一条对角线的长是2，那么它的周长是（   ）

A．6
B．
C．2（1+）
D．1+
9．如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是（　　）

A．60°
B．70°
C．75°
D．80°
10．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为（   ）

A．14      B.12       C.24      D.48
11．如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，如果∠BAC＝70°，
那么∠ADC等于         ．
12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC=4，则四边形CODE的周长为　             

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=12，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间为　2或　秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

14．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=6cm，BC=10cm．则折痕EF的最大值是　　cm．

15．如图，将两条宽度都是为2的纸条重叠在一起，使∠ABC=45°，则四边形ABCD的面积为　_________　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落在AD边的F点上，则DF的长为       ．

17．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是　          　．

18．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是      ．

19．如图，点E、F、G、H分别为矩形ABCD四条边的中点，证明：四边形EFGH是菱形．

20．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．
（1）求证：∠ABE=∠EAD；
（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

21．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G． 
（1）求证：BF=AE+FG；
（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．

22．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点D作DE//AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．
(1)求证：AD＝EC；
(2)当∠BAC＝Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．

23．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；
（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

24．已知：矩形ABCD中，对角线AC与BD交与点O，∠BOC=120°，AC=4cm.求：矩形ABCD的周长和面积。

第 11 页 共 11 页