专题5：三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用.doc

专题5: 三角形中正弦定理与余弦定理的灵活应用
一．高考命题类型
1.三角形的中线问题2.三角形中的角平分线问题3.三角形边的范围问题4.三角形中角的范围问题5.多个三角形的问题6.三角形中的最值问题7.正余弦的混合及灵活8.三角形的判断问题
二．陷阱警示及演练
1.三角形的中线问题（运用向量陷阱）
例1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且。
（1）求A的值；
（2）若B=30°，BC边上的中线AM=，求△ABC的面积。
练习1.在中， ， ， ．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设的中点为，求中线的长．
练习2 .中，内角的对边分别为,已知边，且.
(1)若,求的面积；
(2)记边的中点为，求的最大值，并说明理由.
练习3. 已知函数
（Ⅰ）求函数的单调递增区间及其对称中心；
（Ⅱ）在中，角， ， 所对的边分别为， ， 且角满足.若， 边上的中线长为3，求的面积.
2.三角形中的角平分线问题陷阱
例2. 如图，在中， ， ， ， ， 是的三等分角平分线，分别交于点.
（1）求角的大小；
（2）求线段的长.

练习1. 在中， 是上的点， 平分， 是面积的2倍．
(1)求 ；
(2)若 ，求和的长．
练习2. 已知的内角所对应的边分别为，且满足.
（1）判断的形状；
（2）若， ， 为角的平分线，求的面积.
练习3. 如图，在中， ，
且， .
（1）求的面积；
（2）已知在线段上，且，求的值.
3.三角形边的范围问题陷阱
例3. 在中，内角的对边分别是，且.
（1）求角的大小；
（2）点满足，且线段，求的取值范围.

练习1.已知分别是的内角对的边， .
（1）若， 的面积为，求；
（2）若，求的取值范围.
练习2. 在中，内角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的范围．
练习3. 在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求边长的取值范围.
练习4. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在△中，角的对边分别为，若为锐角且， ，求的取值范围.
4.三角形中角的范围问题陷阱
例4.已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.
（Ⅰ）若,试判断的形状；
（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.

练习1. 在锐角中， .
（1）若的面积等于，求；
（2）求的面积的取值范围.
练习2. 在中， 分别是角的对边，且.
（1） 求的大小；
（2）求的取值范围.
练习3. 在中， ， ， 分别为内角， ， 的对边，且， ， 成等比数列．[来源:学科网]
（1）求角的取值范围；[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
练习4. 已知锐角的三个内角的对边分别为，且．
（1） 求角；
（2）若，求的取值范围．
5.多个三角形的问题
例5.如图，在边长为2的正三角形中， 为的中点， 分别在边上.
（1）若，求的长；
（2）若，问：当取何值时， 的面积最小？并求出面积的最小值．

练习1.如图所示，△ABC中，D为AC的中点，AB=2，BC=.
（1）.求cos∠ABC的值；
（2）.求BD的值.
练习2.的内角的对边分别为，其中，且，延长线段到点，使得.
（Ⅰ）求证： 是直角；
（Ⅱ）求的值.
6.三角形中的最值问题
（1）周长的最值
例6．在中，内角所对的边分别为，已知， .
（1）当时，求的面积；
（2）求周长的最大值.
练习1.在中，角的对边分别为，且.
（1）若，求面积的最大值；
（2）若，求的周长.
练习2. 在 中，角所对的边分别为，且.
（1）若依次成等差数列，且公差为，求的值；
（2）若，试用表示的周长，并求周长的最大值.
（2）面积最值
例7. 已知分别为角的对边，它的外接圆的半径为为常数），并且满足等式成立.
（1）求；
（2）求的面积的最大值.

练习1. 已知中，角对边分别是， ，且的外接圆半径为.
（1）求角的大小；
（2）求面积的最大值.
练习2. 在中， 分别是角的对边，且.[来源:学科网ZXXK]
（I）求的大小;[来源:学科网]
（II）若为的中点，且，求面积最大值.
练习3. 在中，角、、的对边分别为、、，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
8.正余弦的混合及灵活应用
例9. 的内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求.

练习1. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值．
练习2. 的内角的对边分别为，且．
（1）证明： 成等比数列；
（2）若角的平分线交于点，且，求．
9.三角形的判断问题
例9（1）在锐角中， ， ，求的值及的取值范围；
（2）在中，已知，试判断的形状.

练习1. 已知的外接圆半径，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且.
（I）求角B和边长b；
（II）求面积的最大值及取得最大值时的a、c的值，并判断此时三角形的形状.

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