三角形-“心”向量关系.doc
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1、三角形 “心”的向量关系我们都知道,在三角形中,因为有三边和三角,故有很多的心。其中作为学生应掌握的四个心:重心,内心,外心,垂心。不仅要理解其定义、性质,还需了解和分析其向量的表示形式。由于向量是一种研究几何图形的另一种工具,所以我们有必要对它们进行整理和归纳,让同行借鉴。一 各心的定义。1 重心:三角形三条边的中线的交点。其性质一是连接重心和顶点,延长后必交于对应边的中点。其性质二是重心把中线长分成2:1。2 垂心:三角形三边的高线的交点。其性质为垂心与顶点的连线必与对应的边垂直。3 外心:三角形三边的中垂线的交点,即三角形的外接圆的圆心。其性质是外心到三顶点等距离。4 内心:三角形三内角
2、平分线的交点,即三角形的内切圆的圆心。其性质是内心到三边等距离。二 各心的向量表示。在三角形ABC中,点为平面内一点,若满足:1,则点为三角形的重心。 分析:由,以为邻边作一平行四边形, 点D为BC中点,如图,由向量的平行四边形法则,有,交BC于D,从而有故为重心。2,则点为三角形的外心。3,或者,则点为三角形的垂心。分析:由有三个等式,其中一个如, 则有,有,故。同理可证,点为三角形的垂心。 而在三角形ABC中,记,则由 ,展开为,则 故 ,同理可证,从而点为三角形的垂心。4,则点为三角形的内心。 分析:若点为三角形的内心。如图,延长,过点C作,由于相似,有,由AD为角A的平分线,有,从而有
3、,故 同理可得,而BO为角B的内角平分线, 有,故 而,所以,有三 动点的轨迹过三角形心的问题:设点P为三角形所在平面内的一个定点,点Q为平面内的一个动点,若满足:1,(其中),则动点Q一定过的重心。2,(其中),则动点Q一定过的内心。 分析:由于表示方向的单位向量之和,由菱形性质可知, 为角A的内角平分线。3(其中),则动点Q一定过 的垂心。 分析:下面只需说明的性质。 如图,在中,延长AD,过点B作记 则,故有 , 由,从而有,有与共线,从而,与垂直。4(其中),则动点Q一定过的外心。四三角形的外心与它的垂心H的关系: 。在中,以BC所在的直线为x轴,BC的中点为原点建立坐标系。设,。则不难求得它的外心坐标,从而有 。它的垂心坐标,从而有 。 向量作为一种新的计算工具,其在不少的规律上有简明的表现,只要我们用心去发现,还能找到更加美丽的关系的。4 / 4
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