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第六章 实数
知识网络：

考点一、实数的概念及分类
1、实数的分类

2、无理数
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）
判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别
（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根
1、概念、定义
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称
（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号
（1）正数a的算术平方根，记作“”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式

4、开方规律小结
（1）若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。
（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
考点三、实数的性质
有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。
1、相反数
（1）实数a的相反数是-a；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）
（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
2、绝对值
（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。
（2）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。

（3）

3、倒数
（1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a的倒数是1/a（a≠0）
（2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点四、实数的三个非负性及性质
1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2、非负数有三种形式
（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
（2）任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ()。
3、非负数具有以下性质
（1）非负数有最小值零；
（2）非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
考点五、实数大小的比较
实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
（3）两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。
（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．
考点六、实数的运算
（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算
（2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立
（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。
（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

二、典例剖析，综合拓展
知识点1：算术平方根
1.的算术平方根为（ ） （A） （B）－ （C）± （D）（）2
算术平方根的定义：
2. 的算术平方根可表示为 ，即 =
算术平方根的表示方法： （用含a的式子表示）
3. －有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？
算术平方根具有 性，即⑴被开方数a 0，⑵本身 0，必须同时成立
4、已知的小数部分为，的小数部分为，则
跟踪练习：
① 式子有意义，x的取值范围
② 已知：y=++3,求xy的值

③ ，求a+b的值

知识点2：平方根
1. 49的平方根是 ，算术平方根是 ，它的平方根可表示为 ；
2、的平方根是
3、快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1 ⑵|－5| ⑶0.81 ⑷（－9）2

平方根的定义：
平方根的表示方法 （用含a的式子表示）
平方根的性质：

4、如果一个数的平方根是和，求这个数

5.用平方根定义解方程
⑴16（x+2）2=81 ⑵4x2-225=0

6、下列说法正确的是( )
A、的平方根是 B、表示6的算术平方根的相反数
C、 任何数都有平方根 D、一定没有平方根
知识点3：立方根
1. －8的立方根是 ，表示为
立方根的定义：
立方根的表示方法： （用含a的式子表示）
2.说出下列各式表示的意义并求值：
⑴= ⑵－= ⑶= ⑷（）3=
3.如果有意义，x的取值范围为
立方根的性质：

4.用立方根的定义解方程
⑴x3-27 =0 ⑵2（x+3）3=512

拓展提高：
1、已知，，（1） ；（2） ；
（3）0.03的平方根约为 ；（4）若，则
2、已知，，，求（1） ；
（2）3000的立方根约为 ；（3），则
知识点4：重要公式
公式一: ∵ = = =
= = =
∴ =
有关练习： 1.= =
2.如果=a-3，则a的取值范围是 ；
如果=3-a,则a的取值范围是
3.数a,b在数轴上的位置如图：
化简：+|c+a|
b
a

C
0

公式二： ∵（）2= （）2= （）2=
∴= (a≥0)
综合公式一和二，可知，当满足a 条件时，=
公式三： ∵ = = =
= = =
∴= ；
随堂练习：化简：当1＜a＜3时， +

公式四： ∵ （）3= （）3= （）3=
∴=
综合公式三和四，可知，当满足a 条件时，=
公式五： =
知识点五：实数定义及分类
无理数的定义：
实数的定义：
实数与 上的点是一一对应的
1、判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数。 （ ）（2）无限小数都是无理数。 （ ）
（3）无理数都是无限小数。 （ ）（4）根号的数都是无理数。 （ ）

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