圆锥曲线第七天-面积问题.doc
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1、圆锥曲线第七天 面积问题例题1、已知椭圆C:(ab0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值。解:()设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为。()设,。(1)当轴时,。(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为。由已知,得。把代入椭圆方程,整理得,。当且仅当,即时等号成立。当时,综上所述。当最大时,面积取最大值。练习1、如图,直线与椭圆交于A、B两点,记的面积为。()求在,的条件下,的最大值;()当时,求直线AB的方程。本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的
2、基本思想方法和综合解题能力。满分14分。解:()解:设点A的坐标为,点的坐标为,由,解得,所以当且仅当时,取到最在值1,()解:由得 设到的距离为,则又因为所以代入式并整理,得解得,代入式检验,。故直线的方程是。练习2、已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,两准线间的距离为4。()求椭圆的方程;()直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点,当AOB面积取得最大值时,求直线l的方程。解:设椭圆方程为(I)由已知得 所求椭圆方程为(II)解法一:由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为,由 消去y得关于x的方程:由直线l与椭圆相交A、B两点,解
3、得,又由韦达定理得 .原点O到直线l的距离解法1:对两边平方整理得: (*) , 整理得:又,.从而的最大值为,此时代入方程(*)得所以,所求直线方程为: .解法2:令,则, .当且仅当即时,此时.所以,所求直线方程为 .解法二:由题意知直线l的斜率存在且不为零.设直线l的方程为,则直线l与x轴的交点由解法一知:且 解法1: 下同解法一解法2: 下同解法一练习3已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为,为其焦点,一直线过点与椭圆相交于两点,且的最大面积为,求椭圆的方程。解:由得,所以椭圆方程设为设直线,由 得:设,则是方程的两个根由韦达定理得 所以当且仅当时,即轴时取等号 所以,所求椭圆方程为
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