三角形证明讲义.doc

小巨人学科教师辅导讲义
学生: 谢仲铖 教师: 赵常巨 日期: 2015/3/14 家长签名：
课 题
三角形的证明
教学目标
1. 能够证明与三角形,线段的垂直平分线，角平分线等有关的性质及判定定理。
2. 理解逆命题的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
3. 尺规作图等腰三角形，角平分线，线段的垂直平分线。
重点、难点
1. 重点是探索证明的思路和方法；
2. 难点是准确地表达推理证明的过程或相关计算。
考点及考试要求
本章内容在历年中考中主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线，角平分线的性质。这些内容还常常与三角形全等，相似等内容结合在一起综合考查，主要以证明题的形式出现。
教学内容
温故知新

1、两边及其________对应相等的两个三角形全等（SAS）；
2、两角及其________对应相等的两个三角形全等（ASA）；
3、________对应相等的两个三角形全等（SSS）；
4、________及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；
5、全等三角形的对应边________,对应角________。
6、有__________的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做____，两腰的夹角叫做_____，腰与底边的夹角叫做________，____________________________的三角形叫做等边三角形。

回顾课本

已知：△ABC是等腰三角形，AB=AC
求证：∠B=∠C (提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？)

归纳：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；
推理格式：∵AB=AC，∴_________（等边对等角）
2、推论（三线合一）： ；
推理格式：
①∵AB=AC,AD⊥BC, ②∵AB=AC, BD=DC, ③∵AB=AC,___平分____,
∴BD=DC,AD平分_____, ∴___⊥___,___平分_____, ∴________________,

1、等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为 ____ 。
2、如图在△ABC中，AB = AC，AD⊥AC，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B的度数。

3、如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且AE = BF。求证：AD = BC。

4、如图，在△ABC中，D为AC上一点，并且AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，求∠A。

5.如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC。
求证：∠1 =∠2。

总结一下：
1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）；

2、推论（三线合一）：

第二篇章
1、 如图，E是△ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE = CE，延长AE，交BC边于点D。求证：AD⊥BC。

2、已知：如图，点D,E在三角形ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE

3、已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明）

归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”）
推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边)
2、反证法证明问题的一般步骤：
从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。

1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。

2.如图，在△ABC中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形。

3.如图，在中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。
求证：△EBD是等腰三角形。

A
B
N
C
4、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°。求 B处到灯塔C 的距离。

5、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC于M.求证：MD=ME.

6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。

回顾课本
1、三条边都_______的三角形是等边三角形 。
2、三个_____都相等的三角形是等边三角形 。
3、有一个角等于_____°的等腰三角形是等边三角形。
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的________。
5、直角三角形：有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
6、勾股定理的逆定理：∵AB2+AC2=BC2，，∴∠___=90°（△ABC是直角三角形）
7、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的______和______分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________。
8、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却______是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为________，其中一个定理称为另一个定理的________。
9.斜边和一条___________对应相等的两个______三角形全等。（“斜边、直角边”或“__”）

1.已知：如图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=。
（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：△ABC是直角三角形.

2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。
（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等边对等角；

4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。
（1）如果，则 （2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等

1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的两边分别为13和 5，则另一条边为 。如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是 三角形。
2、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，求：AD

3.如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD = CD。
求证：EB = FC。

线段的垂直平分线
线段的垂直平分线：垂直且______一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。

定理：到一条线段两个端点距离__________的点，在这条线段的____________线上。
推理格式：∵AB = AC，∴____点在线段BC的 __。

定理：线段垂直平分线上的____到这条线段两个端点的距离__________。
推理格式:∵PC⊥AB，AC=____(点P在线段AB的垂直平分线MN上),
∴ =PB
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5、已知：如图，在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，
求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且AP=BP=CP。
证明：连接AP、BP、CP，
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=____（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）
∵点P在线段BC的垂直平分线上，
∴

归纳：三角形三条边的__________线相交于_____，并且这一点到三个______的距离相等。
推理格式：∵点P是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，
∴PA=_____=_______.
教材精读
1、已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，求证：PD=PE
证明:∵PD⊥OB，PE⊥OA,垂足分别为D，E，
∴∠PDO=______=90°
∵OC是∠AOB的角平分线，

归纳：角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)
推理格式：∵点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD= __
2、已知：如图，点P为∠AOB内一点，PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，
求证：OP平分∠AOB。

归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的___，在这个角的平分线上（证明角相等）
推理格式：∵PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE，
∴ 点P平分 。
3.如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。
（1）已知CD = 4cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。

4.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。
求证：AD平分∠BAC。

5、如图，在△ABC中，BE⊥AC，AD⊥BC，AD、BE相交于点P，AE = BD。
求证：P在∠ACB的角平分线上。

告诉你个秘密
1、角平分线上的____到这个角的两边的距离________。(证明两条线段相等)
2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的____，在这个角的平分线上.（证明角相等）
教材精读
1.、已知：点P是△ABC的两条角平分线BM、CN的交点，
求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF。
A
B
C
M
N
P
D
E
F
证明：过点P作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，PD⊥AB于D，
∵CN是△ABC的角分线，点P为CN上一点，
∴PE=_____( )
∵BM是△ABC的角分线，点P为BM上一点，
∴PE=_____( )

归纳：三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。
推理格式：∵点P是△ABC的三条角平分线的交点，且PE⊥BC，PF⊥AC，PD⊥AB，
∴PD=_____=_______.
实践练习：
（1）如图4，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD______PE______PF.
（2）如图5，P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.

图4 图5
7、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.

1、三角形三条角平分线相交于一___，并且这一点到三角形三条____的距离______。
回顾思考
【学习目标】
1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高用规范的数学语言表达论证过程的能力。
复习反馈
1、等腰三角形的性质：（边） （角）

三线合一：

2、等边三角形的性质：（边） ；（角）

3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。

4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角） 。

5、线段垂直平分线的性质定理： 。

逆定理： 。

三角形的垂直平分线性质： 。

6、角的性质定理： 。

逆定理： 。

三角形的角平分线性质： 。

7、三角形全等的判定方法有： 。

8、30°锐角的直角三角形的性质： 。

9、方法总结：
（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

1、填空：（1）△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4 cm，最长边AB= 。
（2）直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是 。
（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。
（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a(b－c)，则这个三角形（按边分类）一定是________
2、已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF。 求证：△ABC是等腰三角形。

3、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2. 求AB与BC的长.

4、已知，在△ABC中，AD垂直平分BC，且CA = CE，点B、D、C、E在同一条直线上。
求证： AB + DB = DE

1、等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_____ _____
2、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，则BC的长为 。
3、如图2，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 。

图2
4、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_______________________.它是一个__________命题。等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是___________________________________________________，这个逆命题是_________命题.
5、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AF，E、F是垂足，且BC = CD。
求证：（1）△BCE≌△DCF； （2）DF = EB。

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