必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案).doc

(完整word)必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)
平面向量的实际背景及基本概念

［学习目标]　1。能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

知识点一　向量的概念
数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等）称为数量．
注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题．
②数量之间可以比较大小,而两个向量不能比较大小．
思考　已知下列各量：
①力;②功;③速度；④质量;⑤温度;⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程;⑩密度．
其中是数量的有________________，是向量的有________________．
答案　②④⑤⑨⑩　①③⑥⑦⑧
知识点二　向量的表示方法
（1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．

以A为起点、B为终点的有向线段记作。
(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b， c,…，表示（印刷用黑体a,b，c，书写时用， , )．
（3）向量的大小:也就是向量的长度（或称模），即有向线段的长度,记作｜|。长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．
思考　在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．
答案　单位圆
知识点三　相等向量与共线向量
(1）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．
①记法：向量a平行于b，记作a∥b.
②规定：零向量与任一向量平行．
（3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．
思考　向量平行具备传递性吗?
答案　向量的平行不具备传递性，即若a∥b，b∥c，则未必有a∥c,这是因为，当b＝0时，a、c可以是任意向量,但若b≠0，必有a∥b，b∥c⇒a∥c。因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性,解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．

题型一　向量的基本概念
例1　判断下列命题是否正确,并说明理由．
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
③在平行四边形ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量b平行，则a＝0;
⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
解　两个向量不相等,可能是长度不同,方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确．②＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD中，｜|＝|｜,与平行且方向相同，故＝，③正确．④零向量的方向是任意的,与任一向量平行,④正确．⑤a＝b，则｜a|＝|b｜且a与b方向相同；b＝c,则|b｜＝|c|且b与c方向相同,则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确．若b＝0,由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立；b≠0时，a∥c成立，故⑥不正确．

跟踪训练1　下列说法正确的有________．
（1）若|a|＝|b|,则a＝b或a＝－b;
(2)向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；
（3)向量与是平行向量；
（4）任何两个单位向量都是相等向量．
答案　(3)
解析　（1）错误．由｜a｜＝|b｜仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
(2）错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上．
（3)正确．向量和是长度相等，方向相反的两个向量．
(4）错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．

题型二　向量的表示及应用
例2　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点．
（1）作出向量、、；
(2）求|｜.
解　(1)向量、、如图所示．
(2）由题意，易知与方向相反，故与共线,
又|｜＝｜｜,
∴在四边形ABCD中，AB綊CD。
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，∴｜|＝｜｜＝200 km。

跟踪训练2　在如图的方格纸上,已知向量a，每个小正方形的边长为1。
(1）试以B为终点画一个向量b,使b＝a；
(2）在图中画一个以A为起点的向量c,使｜c｜＝,并说出向量c的终点的轨迹是什么?

解　（1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行,且长度相等（作图略)．
（2）由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为的圆(作图略)．

题型三　平行向量与共线向量
例3　如图所示,△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模大小相等的向量;
（3)写出与相等的向量．
解　（1)因为E、F分别是AC、AB的中点，
所以EF綊BC。又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：
，，，，，,.
（2)与模相等的向量有：
，，，，。
(3）与相等的向量有：
与。

跟踪训练3　如图,已知四边形ABCD为▱ABCD,则
（1)与的模相等的向量有多少个？
(2）与的模相等，方向相反的向量有哪些？
（3）写出与共线的向量．
解　（1)与的模相等的向量有，,三个向量．
(2）与的模相等且方向相反的向量为,。
(3)与共线的向量有，,。

对向量的有关概念理解不清致误

例4　下列说法正确的个数是(　　）
①向量a，b共线,向量b,c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．
A．1 B．2 C．3 D．4
错解　向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点），同起点共线向量不是平行向量．
答案　B或C或D
错因分析　对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量,共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．
正解　事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确;对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则,不妨设a为零向量,则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．
答案　A

1．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝0，则|a｜＝0 B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
2．下列说法正确的是（　　）
A．若｜a｜>|b｜，则a>b B．若｜a｜＝|b｜，则a＝b
C．若a＝b,则a与b共线 D．若a≠b，则a一定不与b共线
3．如图所示,梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（　　)
A。＝ B．｜｜＝|｜
C.> D.〈

4。如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．
（1）写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．

5．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD,BC上的点且＝，求证：四边形DNBM是平行四边形．

一、选择题
1．下列条件中能得到a＝b的是（　　)
A．|a|＝｜b｜ B．a与b的方向相同
C．a＝0，b为任意向量 D．a＝0且b＝0
2．下列说法正确的是(　　）
A．若a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等
D．若a＝b,b＝c，则a＝c
3．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”(　　）
A．总成立 B．当a≠0时成立
C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立
4．如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是（　　）

A。与　　　 B.与
C。与　　　 D。与
5．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①｜a｜＞｜b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1，其中正确的是(　　)
A．①④ B．③ C．①②③ D．②③
6．判断下列命题中不正确的是命题个数为（　　)
①若向量a与b同向，且|a|〉|b｜，则a〉b；
②若向量|a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意｜a｜＝｜b｜，且a与b的方向相同，则a＝b；
④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．若对任意向量b,均有a∥b，则a为________．
8．给出以下5个条件：
①a＝b；②｜a|＝｜b｜；③a与b的方向相反；④|a｜＝0或｜b｜＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）
9．在四边形ABCD中，＝且｜|＝｜|，则四边形的形状为________．
10．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则｜|＝________。
三、解答题
11．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
（1)画出，，,；
(2）求B地相对于A地的位置向量．

12．如图，已知＝＝。求证:
（1）△ABC≌△A′B′C′;
(2)＝，＝。

13．O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中:
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3)找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？

当堂检测答案
1．答案　B
解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的．
2．答案　C
解析　A中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|>|b|，但a与b的方向不确定,不能说a〉b，A不正确；同理B错误；D中，a≠b,a可与b共线．故选C.
3．答案　B
解析　||与｜｜表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
4.解　（1）＝＝,＝.(2),,.
5．证明　∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形,∴AD，BC平行且相等．
又∵＝，∴四边形CNAM为平行四边形，
∴AN，MC平行且相等，∴DN，MB平行且相等，
∴四边形DNBM是平行四边形．

当堂检测答案
一、选择题
1．答案　D
2．答案　D
3．答案　C
解析　当b＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．
4．答案　D
解析　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝。
5．答案　B
解析　a为任一非零向量，故|a|＞0.
6．答案　C
解析　①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．
②不正确．由|a｜＝|b｜只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．
③正确．∵|a|＝｜b｜，且a与b同向．由两向量相等的条件可得a＝b.
④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不确定．
二、填空题
7．答案　零向量
8．答案　①③④
解析　相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．
9．答案　菱形
解析　∵＝，∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵｜|＝｜｜,∴四边形ABCD是菱形．
10．答案　2
解析　易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O,则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得｜｜＝，∴｜|＝2||＝2.
三、解答题
11．解　（1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝，
∴AD綊BC,则四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．

12．证明　(1）∵＝，
∴|｜＝||，且∥.
又∵A不在上，∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形．
∴｜|＝｜｜.
同理｜|＝｜|，|｜＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′。
（2）∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且｜|＝｜｜.
∴＝.同理可证＝.

13．解　（1)＝，＝.
（2）与共线的向量有，，。
(3)与模相等的向量有:,，，,，，.
(4）向量与不相等,因此它们的方向不相同．

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