高三函数的性质练习题及答案.doc

高三函数的性质练习题

一、选择题（基础热身）
1． 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝x3 B．y＝ln|x| C．y＝ D．y＝cosx
2． 已知f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋2f(3)，f(－1)＝2，则f(2011)＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数f(x)＝在[1,2]的最大值和最小值分别是(　　)
A.，1 B．1,0 C.， D．1，
4． 若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A. B. C. D．1

5． 已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,3] C．(0,2) D．(0,2]
6． 函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何x，有f(x)＋f(－x)＝0，g(x)·g(－x)＝1，且当x≠0时，g(x)≠1，则F(x)＝＋f(x)的奇偶性为(　　)
A．奇函数非偶函数 B．偶函数非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
7． 已知函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为(　　)
A. B. C．2 D．4
8．已知关于x的函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D．[2，＋∞)
9． 已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)
A．(1,2 010) B．(1,2 011) C．(2,2 011) D．[2,2 011]

二、 填空题
10．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f[f(5)]＝________.
11．f(x)是连续的偶函数，且当x>0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f的所有x之和为________．
12． 函数f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)为定义域D上的非减函数．设函数f(x)在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0，②f(1－x)＋f(x)＝1，③f＝f(x)，则f＋f的值为________．
13．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意的正数d，都有f(x＋d)<f(x)，则满足f(1－a)<f(a－1)的a的取值范围是________．

三解答题
14．(10分) 已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

15．(13分) 已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.
(1)求f(9)，f(27)的值；
(2)解不等式：f(x)＋f(x－8)<2.

16．(12分)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f(x－y)＝成立，且f(a)＝1(a为正常数)，当0<x<2a时，f(x)>0.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)证明f(x)为周期函数；
(3)求f(x)在[2a,3a]上的最小值和最大值．

17.已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，
证明：（1）函数是上的减函数； （2）函数是奇函数。

18．设为实数，函数，
（1）讨论的奇偶性；
（2）求的最小值。

函数的性质参考答案【基础热身】
1．B　[解析] y＝x3不是偶函数；y＝在(0，＋∞)上单调递减；y＝cosx在(0，＋∞)上有增有减．
2．B　[解析] 令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋2f(3)，因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，所以f(3)＝0，所以f(x＋6)＝f(x)，2011＝6×335＋1，所以f(2011)＝f(1)＝f(－1)＝2.
3．A　[解析] ∵f(x)＝＝＝2－，
又f(x)在[1,2]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(2)＝，故选A.
4．A　[解析] 法一：由已知得f(x)＝定义域关于原点对称，由于该函数定义域为，知a＝，故选A.
法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
又f(x)＝，
则＝在函数的定义域内恒成立，可得a＝.

【能力提升】
5．D　[解析] ∵f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，
∴解得0<a≤2.
6．B　[解析] ∵f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)．
又∵g(x)·g(－x)＝1，∴g(－x)＝.
∵F(x)＝＋f(x)＝f(x)
＝f(x)·.
∴F(－x)＝f(－x)·
＝－f(x)·＝－f(x)·
＝f(x)·＝F(x)．
∴F(x)为偶函数．
7．C　[解析] ∵函数f(x)＝ax＋logax(a＞0且a≠1)在[1,2]上具有单调性，因此最大值与最小值之和为a＋a2＋loga2＝loga2＋6，解得a＝2，故选C.
8．B　[解析] 依题意a＞0且a≠1，
所以2－ax在[0,1]上递减，
因此
解得1＜a＜2，故选B.
9．C　[解析] 因为函数f(x)＝sinπx(0≤x≤1)的图象关于直线x＝对称，不妨令a<b<c，由f(a)＝f(b)可得＝，即a＋b＝1，又因为0≤sinπx≤1，所以0<log2 010c<1，解得1<c<2 010，所以2<a＋b＋c<2 011，故选C.
10．－　[解析] ∵f(5)＝＝＝f(1)＝－5，
∴f[f(5)]＝f(－5)＝f(－1)＝＝－.
11．－8　[解析] 依题意当满足f(x)＝f时，即①x＝时，得x2＋3x－3＝0，此时x1＋x2＝－3.②－x＝时，得x2＋5x＋3＝0，∴x3＋x4＝－5.∴满足f(x)＝f的所有x之和为－3＋(－5)＝－8.
12．1　[解析] 由f(0)＝0，f(1－x)＋f(x)＝1，f＝f(x)，得f(1)＝1，f＝，f＝，因为<<，所以f≤f≤f，所以f＝，所以f＋f＝1.
13．(－∞，1)　[解析] 因为d>0时，f(x＋d)<f(x)，所以函数y＝f(x)是减函数，所以由f(1－a)<f(a－1)得1－a>a－1，解得a<1，所以a的取值范围是(－∞，1)．
14．[解答] (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，
解得b＝1，从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知
＝－，
解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
由f(x)为奇函数，得不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)，
又f(x)为减函数，
由上式推得t2－2t>－2t2＋k，
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
15．[解答] (1)f(9)＝f(3)＋f(3)＝2，
f(27)＝f(9)＋f(3)＝3.
(2)∵f(x)＋f(x－8)＝f[x(x－8)]<f(9)，
又函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，
∴解得8<x<9.
即原不等式的解集为{x|8<x<9}．
【难点突破】
16．[解答] (1)∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，
又f(－x)＝f[(a－x)－a]＝
＝＝＝＝＝－f(x)，
对于定义域内的每个x值都成立，
∴f(x)为奇函数．
(2)证明：∵f(x－a)＝，∴f(x－2a)＝＝＝－，
∴f(x－4a)＝－＝＝f(x)， ∴函数f(x)为周期函数．
(3)设2a<x<3a，则0<x－2a<a，
∴由(2)知f(x－2a)＝－>0，∴f(x)<0，
设2a<x1<x2<3a，则0<x2－x1<a，
∴f(x1)<0，f(x2)<0，f(x2－x1)>0，
∴f(x1)－f(x2)＝>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[2a,3a]上单调递减，
又f(2a)＝f(a＋a)＝f[a－(－a)]＝＝＝0，f(3a)＝f(2a＋a)＝f[2a－(－a)]＝＝＝－1.
∴f(x)在[2a,3a]上的最小值为－1，最大值为0.
17．证明：(1)设，则，而
∴
∴函数是上的减函数;
(2)由得
即，而
∴，即函数是奇函数。
18．解：（1）当时，为偶函数，
当时，为非奇非偶函数；
（2）当时，
当时，，
当时，不存在；
当时，
当时，，
当时，。

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