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圆的标准方程.doc
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1、(完整word)圆的标准方程圆的标准方程学习目标1。会用定义推导圆的标准方程;掌握圆的标准方程的特点。2。会根据已知条件求圆的标准方程。3。能准确判断点与圆的位置关系。知识点一圆的定义及圆的标准方程1.圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中定点是圆的圆心;定长是圆的半径。2。圆的标准方程思考方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆吗?答不一定。当m0时表示点(a,b),当m0时,表示圆.知识点二点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系,即点在圆外、点在圆上、点在圆内,判断点与圆的位置关系有两种方法:(1)几何法:将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较:若|CMr,则点M在圆上;若|
2、CM|r,则点M在圆外;若CM|r,则点M在圆内.(2)代数法:可利用圆C的标准方程(xa)2(yb)2r2来确定:点M(m,n)在圆C上(ma)2(nb)2r2;点M(m,n)在圆C外(ma)2(nb)2r2;点M(m,n)在圆C内(ma)2(nb)2r2.思考确定点与圆的位置关系的关键是什么?答关键是点与圆心的距离与半径的大小比较。题型一求圆的标准方程例1已知圆过两点A(3,1),B(1,3),且它的圆心在直线3xy20上,求此圆的标准方程.解方法一设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2,依题意,有即解得故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.方法二直线AB的斜率k,所以线段A
3、B的垂直平分线m的斜率为2。线段AB的中点的横坐标和纵坐标分别为x1,y2,因此直线m的方程为y22(x1),即2xy0.又因为圆心在直线3xy20上,所以圆心是这两条直线的交点。联立方程,得解得设圆心为C,所以圆心坐标为(2,4).又因为半径r|CA,所以所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210.方法三设圆心为C.因为圆心在直线3xy20上,所以可设圆心C的坐标为(a,3a2)。又因为CACB,所以,解得a2.所以圆心为(2,4),半径长rCA。故所求圆的标准方程为(x2)2(y4)210。跟踪训练1ABC的三个顶点分别为A(0,5),B(1,2),C(3,4),求其外接圆的标准方程.解方
4、法一设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.因为A(0,5),B(1,2),C(3,4)都在圆上,所以它们的坐标都满足圆的方程,于是有解此方程组,得故所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225.方法二因为A(0,5),B(1,2),所以线段AB的中点的坐标为,直线AB的斜率kAB7.所以线段AB的垂直平分线的方程是y,即x7y100,同理,线段BC的垂直平分线的方程是2xy50。由得圆心的坐标为(3,1).又因为圆的半径长r5,所以所求外接圆的标准方程是(x3)2(y1)225。题型二点与圆的位置关系的判断例2已知点A(1,2)不在圆C:(xa)2(ya)22a2的内部,求实数a的取值范
5、围.解由题意,得点A在圆C上或圆C的外部,(1a)2(2a)22a2,2a50,a,又a0,a的取值范围是(0,)。跟踪训练2若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部,则a的取值范围是()A.1a1 B.0a1C.a1或a1 D.1a0答案A解析直接利用点与圆的位置关系来判断。点(1,1)在圆的内部,(1a)2(1a)24。解得1a1.题型三圆的方程的综合应用例3已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0),(1)求此圆的标准方程;(2)设P(x,y)为圆C上任意一点,求P(x,y)到直线xy10的距离的最大值和最小值.解(1)由已知,得C(3,0),r2,所求方程为(
6、x3)2y24.(2)圆心C到直线xy10的距离d2。P到直线的最大距离为22,最小距离为22。跟踪训练3已知圆C:(x3)2(y4)21,点A(0,1),B(0,1),设P是圆C上的动点,令d|PA2|PB2,求d的最大值及最小值.解设P(x,y),则dPA2|PB22(x2y2)2。|CO2324225,(51)2x2y2(51)2.即16x2y236。d的最小值为216234.最大值为236274。求圆的标准方程例4已知圆的圆心在x轴上,半径长为5,且截y轴所得的线段长为8,求该圆的标准方程。分析由圆心在x轴上,即圆心的纵坐标为0,半径长为5,结合在y轴上截得的线段长为8,可构造直角三角
7、形求解,也可设出圆的方程,利用待定系数法求解。解方法一如图,由题设|AC|r5,AB8,所以|AO|4。在RtAOC中,OC3。设点C的坐标为(a,0),则OCa3。所以a3。所以所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225.方法二由题意设所求圆的方程为(xa)2y225。因为圆截y轴所得线段长为8,所以圆过点A(0,4).代入方程,得a21625。所以a3。所以所求圆的标准方程为(x3)2y225或(x3)2y225.1。圆(x1)2(y)21的圆心坐标是()A。(1,) B.(1,)C。(1,) D.(1,)2。圆心是O(3,4),半径长为5的圆的方程为()A.(x3)2(y4
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