必修四-任意角与弧度制--知识点汇总(教师版).doc

美博教育任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。
2、角的分类：
由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、 “象限角”
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和。
（2）所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和
注意：
1、
2、是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若角的终边与角的终边相同，则在上终边与的角终边相同的角为 。
若θ角的终边与8π/5的终边相同
则有：θ=2kπ+8π/5 (k为整数)
所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5
当：0≤kπ/2+2π/5≤2π
有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角
k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角

（2）若是终边相同的角。那么在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）； （2）．
例3、求，使与角的终边相同，且．

2、终边在坐标轴上的点：
终边在x轴上的角的集合：
终边在y轴上的角的集合：
终边在坐标轴上的角的集合：
3、终边共线且反向的角：
终边在y=x轴上的角的集合：
终边在轴上的角的集合：
4、终边互相对称的角：
若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：
若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：
若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：
角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：
例1、若，则角与角的中变得位置关系是（ ）。
A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称
例2、将下列各角化成0到的角加上的形式
（1） （2）
例3、设集合,
,求,.
二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
o
r
C
2rad
1rad
r
l=2r
o
A
A
B

如图：ÐAOB=1rad ，ÐAOC=2rad ， 周角=2prad
注意：
1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2、角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算
弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系：∵ 360°= rad 180°= rad
∴ 1°=

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
例1、 把化成弧度
∴
例2、 把化成度

例3、将下列各角从弧度化成角度
（1） rad （2）2.1 rad  （3）
例4、用弧度制表示：1°终边在轴上的角的集合 2°终边在轴上的角的集合

三、弧长公式和扇形面积公式
；
例1、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .
例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为，求这连个角的大小分别为 。
例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
例4、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇
形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

.
例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

（七）任意角的三角函数（定义）
1． 设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离
2．比值叫做a的正弦 记作： ；比值叫做a的余弦 记作：
比值叫做a的正切 记作： ；比值叫做a的余切 记作：
比值叫做a的正割 记作： ；比值叫做a的余割 记作：
注意突出几个问题：①角是“任意角”，当b=2kp+a(kÎZ)时，b与a的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定
三角函数在各象限的符号：
⑤定义域：

4. 是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且cos=,则sin= .
. 已知角的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则 2 .

例8、 已知a的终边经过点P(2,-3)，求a的六个三角函数值

例9、 求下列各角的六个三角函数值
⑴ 0 ⑵ p ⑶ ⑷

例10、 ⑴ 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值
⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a¹0)求2sina+

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