函数解析式的几种基本方法及例题.doc

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求函数解析式的几种基本方法及例题:

1、 凑配法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域. 此法较适合简单题目。
例1、(1）已知f（x+1）=x2+2x，求f（x)及f(x—2)。
（2） 已知 ，求 的解析式
解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1，∴f（x）=x2-1。f(x-2)=（x-2)2-1=x2-4x+3。
（2） ，

2、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例2 （1) 已知,求
(2）如果
解：（1）令，则，

（2)设
3、 待定系数法:当已知函数的模式求解析式时适合此法.应用此法解题时往往需要解恒等式。
例3、已知f（x）是二次函数，且满足f（x+1)+f（x—1)=2x2-4x,求f(x）.
解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∴f（x+1）+f（x-1)=a(x+1）2+b(x+1）+c
+a(x-1)2+b（x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2—4x,
则应有
四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换,设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
例4 设求
解 ①
显然将换成，得：
②
解① ②联立的方程组，得：

五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例5 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
再令 得函数解析式为：
例6、（分段函数)设f（x）=求f[g（x)］的表达式.
解：(对于分段函数的问题，应遵循“分段处理”的原则）
当|2x+1|≤1即-1≤x≤0时，f［g(x)]=2|x|—2,
当｜2x+1|＞1即x＞0或x＜—1时,f[g(x）]=。
∴f［g(x)]=
（三） 、课堂练习：
1、 已知f（x+1）=x2—2x，求f(x）及f(x-2）。
(答案：f(x）=x2-4x+3，f(x—2)=x2—8x+15）
2、 已知f（+1）=x+2+1,求f(x)的解析式。
（答案：f(x)=x2(x≥1） ）
3、 已知f(x）为多项式,f（x+1）+f(x-1）=2x2—2x+4.求f(x）的解析式.
(答案：f（x）=x2-x+1)
4、 已知f(x)=2x+a,（x)=（x2+3），且[f(x）]=x2+x+1,则a= 。
5、如果函数f（x)满足方程a为常数,且a≠1，求f(x)的解析式。
解：∵af(x)+f（)=ax ① 将x换成，换成x得，
af（）+f（x）= ② 由①、②得f（x）=

（答案:0≤x≤10或x≤-2 ）
7、已知函数f（x）对任意正数m,n均有f（mn)=f(m）+f(n）成立，且f（8）=3，试求f(）的值. (答案：f（)=)