浅谈高中学生运算求解能力的培养.doc
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1、浅谈高中学生运算求解能力的培养运算求解能力是大家比较熟悉的一种基本数学能力,也是历年来高考重点考查的知识点。根据高考年报数据显示,在每年的数学高考试题中有百分之八十左右的试题都与运算有关.考查的知识载体几乎涉及所有数学分支。因此,运算能力的高低、运算速度的快慢,直接关系到每个考生的成绩.从高考评卷场上反馈的信息来看,当前高中学生运算能力是比较差的,出现这种状况的原因是多方面的。有的学生不能对简单的公式、公理、定理进行记忆、理解,不能进行灵活运用;有的学生不注意观察、不进行联想、不进行比较,缺乏合理选择简捷运算途径的意识,在计算练习中出现错误是常有的事。因此,在教学中,应把培养学生的运算求解能力
2、放在重要的位置上,帮助他们找出错误,分析错误的原因,有针对性地指导,提高教学效果,用科学的方法提高学生的计算能力。本文结合具体的实例分析,提出培养学生运算求解能力的方法。一、运算求解能力的实质中学数学运算求解能力主要是指:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似计算。运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过
3、程中遇到障碍而调整运算的能力.运算求解的实质就其过程来说是根据运算定义、性质、原理、法则,按照运算的顺序从已知算式及数据推导出结果的过程,实际上是一个推理过程。二、运算求解能力的层次学生运算求解能力的高低与其观察能力、理解能力、抽象归纳能力、表达能力、推理能力等是分不开的,是和各种基本能力相互作用,相互渗透的一种综合性的数学能力,因此,运算求解能力的提高不能孤立地存在和发展,应和各种基本能力相互促进,逐步发展。运算求解能力一般可分为三个层次:机械应用概念、性质、公式、法则得出运算结果,这是一种较为简单的运算求解能力。熟练地运用各种运算的技巧,熟记某些运算结论,大量化简运算过程则是运算求解能力的
4、中层次的表现,特点是体现了运算的灵活性和技巧性。运用各种数学思想,通过各种类比、联想、归纳等方法,找到更加合理快捷的解题方法,是运算求解能力的较高层次的体现。三、提高学生运算求解能力的实例分析(一)熟悉掌握概念、公式、法则充分理解概念、定理、性质,牢记公式法则,熟悉公式的结构及各种变形,掌握公式的作用,明确算理。一些学生在运用概念或运算法则时,往往不注意附加条件,盲目套公式,导致错误。也有在代数式的变形中,不注意原式隐含的条件,导致式的变形为非等价变形,从而出错。例1、 A、B为定点且|AB|4,点P满足PAPB4,则点P轨迹为( )A、椭圆 B、双曲线 C、直线 D、线段分析:很多同学错选A
5、。这是对椭圆定义理解不清,忽略了“到两定点的距离之和大于常数4的条件。事实上,“到两定点的距离之和等于常数4时,点的轨迹是以定点为端点的线段,故应选D。而“到两定点的距离之和小于常数4”时,不表示任何图形。例2、正三棱柱三视图如下,求此三棱柱体积。(其中AC3,CD)A C D B 正视图 左视图 F E 俯视图 错解:底面积S,高hAB3三棱柱体积VSh3(体积单位)分析:学生出错的原因在于没有考虑到三视图隐含的条件,即图中俯视图所表示的正三角形高EF的长应等于左视图矩形CD的长,故正三角形边长不是,而是2,所以三棱柱体积VSh(2)23(体积单位) 。例3、判断函数f(x)的奇偶性。错解:
6、f(x)tanxf(x)=f(x),f(x)为奇函数.分析:此题应引导学生对函数奇偶性判断应注意哪些问题。事实上,在解题过程中,学生忽略了两个问题:对函数的定义域没有作出判断,化简过程中由原式分子分母约去1+cosx,是对代数式的非等价变形导致扩大了原函数的定义域.因为一个函数若是奇函数或为偶函数,其定义域关于原点对称是其必要条件,应该首先作出判断。(二)熟练运用运算法则,简化运算步骤,避免走回头路如整体代入法、逆用公式法、换元法、估值法、验证法、排除法等。同时记住一些基本结论、基本数据,在运算中直接应用,对运算求解速度,确保运算结果准确性起着重要作用。例4、设AB,求tanA+tanB+ta
7、nAtanB的值。(A0,B0)分析:本题若对求值式直接进行切化弦,必然陷入困境,切化弦是解决三角问题的通性、通法,但不是唯一方法。引导学生分析式子特点,式中存在tanA+tanB、tanAtanB且AB,联想到两角和的正切公式tan(A+B)= ,公式能否逆用?经过这样分析,能迅速得出结果。解:由tan(A+B)= ,tanAtanB1 AB, ,tanA+tanBtanAtanB,故得tanA+tanBtanAtanB.逆用公式是逆向思维的重要表现方式,也是打破思维定向的重要手段,平时应注意这方面的训练,重视对公式的式变和图形的形变的探究,为学生灵活联想运用公式和知识打好基础。 此外,等“
8、量转换在一些问题的求解中,能起到非常大作用。如平面几何中面积等量转换、立体几何中体积的等量转换等。例5、棱长为a的正四面体有一内切球,求内切球的半径r。分析:因为球和面相切,故球心和切点的连线垂直于这个面,因此,正四面体的体积等于以球心为顶点,四面体的面为底面的四个三棱锥的体积之和,这样不难求出内切球的半径r=a 。整体代换在运算求解中也起到重要作用,不但能使运算大大简化,还可避免走回头路,提高运算速度,特别是在解方程组、代数式的求值、求函数定义域、值域、数列求和等方面运用得比较多。例6、在等比数列an中,S4=1,S8=3,求a17a18a19a20的值。解:设数列an首项为a1公比为q,得
9、明显q1,则=1 3 得q42, a17a18a19a20=S20S16=-=q16=1(q4)4=16此题由于运用了整体代入法,将=1,q42整体代入算式,使得计算简捷,若求出a1、q再代入计算,虽然可求但解法繁杂,缺乏计算的合理性。解题中应充分认识已知数值与待求代数式的关系,采用整体思考,避免运算中走回头路的现象.例7、求函数y=(x2+2x+3)(x2+2x+5)的值域。解:设x2+2x+3t,则(t2),函数可变为y=t(t+2)=(t+1)2-1, (t2), 函数在t2,上为增函数, y2(2+2)=8,故原函数值域为y8,.(三)运用数学思想方法、分析问题、解决问题通过运用数学思
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