函数奇偶性专题复习.docx

函数的奇偶性专题复习
一、关于函数的奇偶性的定义
定义说明：对于函数的定义域内任意一个：
⑴ 是偶函数；
⑵奇函数；
函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。
二、函数的奇偶性的几个性质
①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；
②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
③可逆性：是偶函数；是奇函数；
④等价性：；
⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
三、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查是否与、 相等，
判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称；
②数量关系哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）.
例2：判断函数的奇偶性。
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数；
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；
两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数；
奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的6个结论.
结论1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
结论2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。
结论3 是任意函数，定义域关于原点对称，那么是偶函数。
结论4 函数是偶函数，函数是奇函数。
结论5 已知函数是奇函数，且有定义，则。
结论6 已知是奇函数或偶函数，方程有实根，
那么方程的所有实根之和为零；
若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。
五、关于函数奇偶性的简单应用（各种类型题）
1.利用定义解题
例1：已知为奇函数，则________。
已知为偶函数，则 ________。
2.利用奇偶性，求函数值
例2：（1）已知且，求的值
3.利用奇偶性比较大小
例3（1）已知奇函数在R为减函数，比较，，的大小。
（2）已知函数是上的偶函数，且在上是减函数，
若，求的取值范围.
**（3）定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则( )
A. B. C. D.
4.利用奇偶性求解析式
例4：（1）已知为偶函数，，求解析式？
（2）已知为奇函数，当时,，当时，求解析式？
5.利用奇偶性讨论函数的单调性
例5：若是偶函数，讨论函数的单调区间？
6.利用奇偶性判断函数的奇偶性
例6：已知是偶函数，判断的奇偶性。
7.利用奇偶性求参数的值
例7：（1）定义上的偶函数在单调递减，若恒成立，求的范围.
（2）定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围.

8.利用图像解题
例8：（1）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式的解是 .
（2）若函数在上为奇函数，且在上单调递增,,则不等式的解集为 .
9.利用性质选图像
例9：（1）设，实数满足，则关于的函数的图像形状大致是（ ）
x
0
y
1
x
0
y
1
x
0
y
1
x
0
y
1

A B C D
（2）函数的图象大致为

奇偶性专题训练
1.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（　　）
A．奇函数　　 B．偶函数 C．既奇又偶函数　D．非奇非偶函数
2.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（　　）
A．，b＝0　　B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0　　D．a＝3，b＝0
3.如果定义在区间上的函数为奇函数，则=
4.若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．
5.若为奇函数，则实数 ．
6.函数是偶函数的条件是 ．
7.已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（　　）
A．－26　　B．－18　　　C．－10　　D．10
8.已知函数
A．b B．－b C． D．－
9.若函数是定义在R上的奇函数，则函数的图象关于（　　）
A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 以上均不对
10.已知函数在R是奇函数，且当时，，则时，的解析式为_______________
11.下列四个函数中，是奇函数且在定义域上不是单调函数的是（ ）
A． B． C． D．
12.若函数为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
13.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B． 是奇函数
C．是奇函数 D． 是奇函数
14.定义在上的函数是减函数，且是奇函数，若，求实数的范围。
15．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，
若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．
16. 若f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
17.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x、y满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），
求证f（x）是偶函数．
18.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（　　）
A．y＝x（x－2）　　　 B．y ＝x（｜x｜－1）
C．y ＝｜x｜（x－2）　　D．y＝x（｜x｜－2）
19.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

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