中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题.doc

(完整版)中点坐标法解决二次函数中平行四边形存在性问题
另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题,常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图,若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．
1 两个结论，解题的切入点
数学课标,现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式,也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。
1。1 线段中点坐标公式
平面直角坐标系中，点A坐标为(x1，y1），点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(,）。
图1
证明 ： 如图1，设AB中点P的坐标为(xP，yP）.由xP—x1=x2-xP,得xP=，同理yP=，所以线段AB的中点坐标为（，)。

1.2 平行四边形顶点坐标公式
图2
□ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA）、B(xB，yB）、C（xC，yC)、D（xD，yD），则：xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD。
证明: 如图2,连接AC、BD，相交于点E．
∵点E为AC的中点,
∴E点坐标为(，）.
又∵点E为BD的中点，
图3
∴E点坐标为（,)。
∴xA+xC=xB+xD;yA+yC=yB+yD。
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
2 一个基本事实,解题的预备知识
如图3,已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种:以AB为对角线的□ACBD1,以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．
3 两类存在性问题解题策略例析与反思
3。1 三个定点、一个动点,探究平行四边形的存在性问题
例1 已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M。直线y=x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.
（1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标,则M（ ）, N( ）；
(2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D,连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；
(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.
解：（1)M(1，a—1),N(，-）；(2）a=—；S四边形ADCN=;
（3）由已知条件易得A（0,a）、C（0,-a)、N(，—).设P（m，m2-2m+a).
①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得:
图4
，∴.
∴P1（,—)；
②当以AN为对角线时,得:
,∴(不合题意,舍去).
③当以CN为对角线时，得:
，∴。
∴P2(-，).
∴在抛物线上存在点P1(,-）和P2(-，），使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形。
反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标,运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论。
3.2 两个定点、两个动点,探究平行四边形存在性问题
图5
例2 如图5,在平面直角坐标系中,抛物线A（—1，0），B(3,0）,C(0，—1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为
顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标。
解 ：(1）易求抛物线的表达式为y=；
(2）由题意知点Q在y轴上,设点Q坐标为(0，t);点P在抛物线上,
设点P坐标为（m，）。
尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点,这样就转化为三定一动了．
①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：—1+0=3+m，
∴m=-4，∴P1(-4，7）;
②当以BQ为对角线时,得：—1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4，）;
③当以AB为对角线时，得:-1+3=m+0，∴m=2，∴P3（2，—1）。
综上，满足条件的点P为P1(—4，7)、P2（4，)、P3（2,-1）。
反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标,另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上,可以不设．另外,把在定直线上的动点看成一个定点,这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.
例3 如图6,在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（—4,0)，B(0，—4),C(2，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
(2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=—x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
解:（1）易求抛物线的解析式为y=x2+x-4；
(2）s=-m2-4m(-4<m〈0)；s最大=4（过程略）；
（3)尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O(0，0）、B（0,—4）.
由于点Q是直线y=-x上的动点,设Q(s，-s)，把Q看做定点;设P（m，m2+m—4）。
①当以OQ为对角线时，

图6
∴s=-2。
∴Q1（—2+,2-），Q2（—2—，2+)；
②当以BQ为对角线时，

∴s1=—4，s2=0(舍).
∴Q3(-4,4）；
③当以OB为对角线时，

∴s1=4，s2=0（舍）。
∴Q4（4,-4）.
综上，满足条件的点Q为Q1(-2+,2-）、Q2(—2—，2+)、Q3（—4,4）、Q4(4，-4）.
反思:该题中的点Q是直线y=—x上的动点，设动点Q的坐标为(s,—s),把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了。
4 问题总结
这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论,然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组）．这种解法,不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚,而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想。
4