方程与不等式专题讲座稿.doc

方程与不等式专题讲座
孙宝英 2012。9
方程与方程组部分：
一、 知识结构
二、 2012年中考说明对这部分的要求
A
• 知道方程是刻画现实世界数量关系的一个数学模型
• 了解方程解的概念
• 了解一元一次方程的有关概念
• 理解一元一次方程解法中的各个步骤
• 了解二元一次方程(组）的有关概念
• 知道代入消元法、加减消元法的意义
• 了解分式方程的概念
• 了解一元二次方程的概念,
• 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程,理解各种解法的依据
B
• 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程
• 会由方程的解求方程中待定系数的值；会用观察、画图等方法估计方程的解
• 会根据具体问题列出一元一次方程
• 熟练掌握一元一次方程的解法；会解含有字母系数的一元一次方程（无需讨论)
• 掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组
• 会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个)；会对分式方程的解进行检验
• 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值
• 能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况
C
• 会运用一元一次方程解决简单的实际问题

• 会运用二元一次方程组解决简单的实际问题

• 会运用分式方程解决简单的实际问题

• 能利用根判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围;会运用一元二次方程解决简单的实际问题
三、 重点考察知识点分析
（1) 08年考了①列一元一次方程解应用题②一元二次方程根的判别式③解字母系数的一元二次方程，共10分;

（2) 09年考了①列一元一次方程解应用题②用配方法将代数式变形③解分式方程④一元二次方程根的判别式和解法，共15分

（3）10年考了①解分式方程②一元二次方程根的判别式③列方程或方程组解应用题，共15分

（4）11年考了①解分式方程②列方程解应用题,共9分

（5）12年考了①一元二次方程根系关系（填空） ②列分式方程解应用题，共9分
四、教学建议
（一）总建议
1.重视对学生进行方程与方程组的基本解法的训练，做到结果准确、动作快速、方法恰当;在解法中提高转化思想的应用意识
2.重视在解决实际问题时，学生分析问题能力的培养，使他们能将实际问题抽象为数学问题来解决
3。一元二次方程与函数结合应引起重视
（二）各阶段的要求

1.小学阶段的要求
（1）在具体情境中能用字母表示数
（2）结合简单的实际情境，了解等量关系,并能用字母表示
（3）能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2=5，2x-x=3）,了解方程的作用
（4）了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程
2。初中阶段的要求
（1)能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
（2)经历估计方程解得过程
(3）掌握等式的基本性质
（4）能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程
(5)掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组
(6)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程
（7)会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实根是否相等
（8）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理
教材解析部分:
一、一元一次方程
1。主要内容
本章在介绍了字母表示数和列代数式的值、合并同类项的知识的基础上，学习等式的概念和等式的两个基本性质以及方程、方程的解、解方程等概念；接着学习运用等式的基本性质和移项法则解一元一次方程，归纳出一元一次方程的概念,以及解一元一次方程的一般步骤;最后结合实际举例说明如何列出一元一次方程解应用题，从中渗透“未知”可以转化为“已知"的思想方法以及用方程的方法处理某些问题的优越性
2.建议
(一）要深入理解概念
1.什么是方程：方程与代数式的区别
2。方程同解原理和解方程过程的实质
（1）关于同解方程
(2）方程同解原理
3.解方程过程的本质：
例如 5(1-x）-2=2-x
解：原方程=5—5x—2=2
=3—5x=2-x
=-5x+x=2-3
=-4x=-1
=x=
（二）准确、熟练的掌握解方程的技能
一方面要熟悉恰当的解法步骤；另一方面要熟悉各种易产生错误的细节如何处理：
1、把方程连等
　　例1.解方程。
　　错解:。
　　剖析:把几个方程用等号连结起来这是初学解一元一次方程时常犯的错误,其原因是对方程变形理解不透，利用等式性质对方程进行变形后，方程的解虽然不变，但变形后的方程两边与变形前的方程两边已经不一样了，所以不能用连等号。
　　正解：x—4=7,x=7=4，
　　所以x=11。
　　2．移项不变号
　　例2　解方程4x－2=3－2x．
　　错解：移项，得4x－2x=3－2．
　　合并同类项，得2x=1．
　　方程两边同除以2，得x=．
　　剖析：移项要变号，移项法则的得出是根据等式的第一个性质，例如x+２=３，要解出x，需在方程左、右两边同时减去2，即x+2－2=3－2，x=3－2和原方程x+２=３比较，就相当于将“+2”变为“－2”后，由左边移到了右边．而在此题中将方程右边“－2x”移到左边没变号，“－2”从左边移到右边也没有变号．正确的解法为：
　　解：移项，得4x+2x=3+2．
　　合并同类项，得6x=5
　　系数化为1,得x=．
　　3．去括号时，漏乘括号中的项
　　例3　解方程－2(x－3）=12。
　　错解：去括号，得－2x－3=12
　　移项，合并同类项,得－2x=15．
　　系数化为1，得x=－．
　　剖析：去括号时，用－2去乘括号里的各项，再把积相加，而在此题中,“－2"只乘了括号里的第一项．正确的解法为：
　　解:去括号，得－2x+6=12
　　移项,合并同类项，得－2x=6
　　系数化为1,得x=－3．
　　4．去括号时,搞错符号．
　　例4　解方程3（x-1)—2（2x-1）=5。
　　错解:去括号，得3x-3-4x-2=5
　　移项,合并同类项,得—x=10
系数化为1，得x=－10．
　　剖析：去括号时，用－2去乘括号里的各项时，“－2"乘“－1”符号搞错．正确的解法为:
　　解:去括号，得3x—3-4x+2=5
　　移项，合并同类项，得—x=6
　　系数化为1,得x=－6．
　　5．去分母时，漏乘不含分母的项
　　例5　解方程。
　　错解：去分母,得3（x+1)—(x—3)=2（5x+1）+6.
　　去括号，得3x+3-x+3=10x +2+6。
　　移项，合并同类项,得-8x=2。
　　系数化成1,得x=
　　剖析：去分母时，根据等式的第二个性质，方程两边同时乘以分母的最小公倍数6，等式仍成立．而在运用这个性质时，方程右边的“6”没有乘以6,出现了漏乘不含分母的项．正确的解法为：
　　解：去分母，得3(x+1)-（x-3）=2(5x+1)+36.
　　去括号,得3x+3—x+3=10x +2+36.
　　移项,合并同类项，得-8x=32。
　　系数化成1，得x=-4
　　6．去分母后,分子忘记加括号
　　例6　解方程x-。
　　错解：去分母 ,得6x—x-1=12-2(x+2）
　　去括号,得6x—x—1=12—2x—4
　　移项，得6x-x+2x=12-4+1
　　合并同类项，得7x=9
　　系数化成1，得x=.
　　剖析：分数线除了有除号的作用外，还有括号的作用．左边去掉分母后，分子是多项式,忘记加括号．正确的解法为:
　　解:去分母 ，得6x-（x-1）=12-2(x+2）
　　去括号，得6x-x+1=12—2x-4
　　移项，得6x—x+2x=12—4-1
　　合并同类项，得7x=7
　　系数化成1，得x=1.
　　7、去分母时,忽视分数线的括号作用
　　例7。解方程。
　　错解：去分母，得
　　.
解得x=。
　　剖析:错解的原因是对分数线的理解不全面。分数线有两层意义，一方面是除号，另一方面它又代表着括号,分子是一个代数式，应该看作一个整体，在去分母时,应将它加上括号。
　　正解:去分母,得
　　。
　　解这个方程，得x=—。
　　8．把形如方程ax=b中 x的系数化为1时，a没有作除数．
　　例8 解方程6ax=－3．(a≠0)
　　错解:x=－2a．
　　剖析：错误的原因只想凑整，而没有想到6a是除数．正确的解法为:
　　解：方程两边同时除以6a,得x=－．
　　9、混淆分数的性质与等式的性质
　　例10。解方程。
　　错解:原方程可化为：
　　，
　　解得 。
　　剖析:分数的基本性质为分子、分母都乘以同一个非零常数，分数的值不变,而在方程左、右两边都乘以一个数，方程的解不变，这二者不可混淆.
　　正解:原方程可化为
　　，
　　解得 .
（三）重视“列出一元一次方程解应用问题"的学习
1。重要性
2。熟练掌握 ：（1)列方程解应用题的原理
（2）列方程过程的实质（即：在题目描述的过程中，随便“拉出”一个量，依题意用两种方式表达“它”，中间连“一等号”，方程立成）
举例说明：一手推车满载时，可装半袋面粉加180斤大米,或者4袋面粉加5斤大米。求1袋面粉的重量
思考1：以两种方式表达半袋面粉重量
思考2:以两种方式表达180斤大米重量
思考3：以两种方式表达4袋面粉重量
思考4：以两种方式表达5斤大米重量
思考5：以两种方式表达1袋面粉重量
思考6：以两种方式表达半袋面粉的“半”字

思考7：以两种方式表达4袋面粉的“4”
思考8：以两种方式表达手推车的满载重量
思考9：以两种方式表达1袋面粉重量并且在其中一种表达中不许出现x

（3)寻求最简捷的列方程的思路
(4）分类型归纳思考方法
（5）坚持一题多解
二、二元一次方程组
（一）内容:
1.初中阶段的二元一次方程组一章主要包括：二元一次方程和它的解、二元一次方程组、二元一次方程组的解等概念。着重介绍了二元一次方程组的两种解法——代入消元法和加减消元法。最后作为另一个重点，介绍了二元一次方程组的简单应用。通过这些内容,要使学生了解“消元”这种化为知为已知、化复杂为简单的思想方法,同时注意培养学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力。
2.二元一次方程组部分的内容是在学生已解决了小学数学与中学数学的衔接问题，并已掌握了有理数、整式的加减、一元一次方程等基础知识后展开的。是今后学习线性方程组和二元二次方程组的基础。再进一步学习一次函数、二次函数和平面解析几何等知识内容时，也要经常遇到二元一次方程组和它的求解问题。
二）建议
1。弄清楚二元一次方程的解与一元一次方程的解的共同点与不同之处
2。了解二元一次方程的解和二元一次方程组的解之间的联系
(1)两个同解的二元一次方程构成的二元一次方程组,有无数组解
（2）把两个方程分别同解变形为
其中 都不为零
如果 ,那么，这两个二元一次方
程之间，没有任何一组公共解

3.把两个方程分别同解变形为
其中 都不为零

的形式后,如果 那么，这两个方程

间，必有也只有一组解是相同的
（三）在对比中，掌握列出二元一次方程组解应用问题的方法
三、分式方程
1、正确区分：分式与分式方程、分式的基本性质与等式的基本性质
2、分式方程为什么要检验?
3、增根与无实根的区别
四、一元二次方程
1.内容
这一部分内容主要包括:一元二次方程的一般概念和一元二次方程的解法应用。一元二次方程和它的解法是中学方程教学的重要环节。很多有关“二次"问题的解决都可以归结为通过一元二次方程来解决,同时,它又是解决实际问题是被广泛应用的工具.
2。建议：（1）切实掌握
例如,在理解“关于x的一元二次方程
，当有b=0时，它又不相等的实数根的条件是a、c异号"这时脑子中应当迅速闪现三个方向的解释：
①它的判别式△=0 — 4ac，只有a、c异号， △才大于零 ；
②用因式分解法解这个方程，
只有当a、c异号，二次式 才是可以分解的
说明：
（1）一元二次方程的解法和根的判别式考察比较频繁,配方法和字母系数的一元二次方程的解法要引起重视

（2) 应用题主要以社会中的热点问题、焦点问题（如环保、节水、北京2008 奥运会等)为问题背景,另外呈现问题情境的方式会更多样化，可以是文字，也可以是图表等.

(3）一元二次方程与函数结合成为热点问题
③用开平方法解这个方程， ，只有当
a、c异号时，正数 才有两个互为相反数的平方根
（2）安排好一元二次方程的几种解法在应用时的思考程序
①b=0,c≠0时，只考虑开平方法
②c=0，b≠0时,用因式分解法
③b、c都不为0时考虑因式分解法或公式法
（08年中考题）23．已知：关于的一元二次方程．
（1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2）设方程的两个实数根分别为,（其中）．若是关于的函数,且，求这个函数的解析式
09年中考：23。 已知关于的一元二次方程 有实数根，K为正整数。
（1)求K的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于X的二次函数
的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

不等式与不等式组部分
一、 知识结构
二、 2012年中考说明对这部分内容的要求
A
• 了解不等式的意义
• 理解不等式的基本性质
• 了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集
• B
• 能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组)
• 会利用不等式的性质比较两个实数的大小
• 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解
C
• 能根据具体问题中的数量关系,用一元一次不等式解决简单问题
三、考查知识点
分析:
(1） 08年考了①解不等式,求自变量的取值范围②解不等式，并在数轴上表示解集,共约7分;
（2) 09年考了①解不等式②解不等式，求字母取值范围，共约6分
（3)10年考了①解不等式，求使式子有意义的字母的取值范围，约2分
(4） 11年考了①解不等式,约4分
说明：
（1)一元一次不等式的解法考察比较频繁
（2） 解一元一次不等式常与二次根式,分式，根的判别式结合考察，应引起重视

四、总建议
1.重视对学生进行一元一次不等式(组）的基本解法的训练，做到结果准确、动作快速
2.重视不等式的基本性质3的应用
3。一元一次不等式与其它知识结合需引起重视
五、教材分析
1.内容：在学生已有的等式性质等学习经验的基础上，探索不等式的基本性质；从方程及方程的解来研究不等式的解集;在与一元一次方程的类比中,研究一元一次不等式的解法及其简单应用；最后在实际的问题情境中，抽象出一元一次不等式组的概念和解法，以及它们的简单应用
2.建议
(1)比较一元一次方程和一元一次不等式，联系与区分
（2）严格注意概念的区分
①绝对不等式和条件不等式
②不等式的三条基本性质和不等式同解的三条原理
（3）高度重视不等式的解集在数轴上的表示
（4）抓住解好一元一次不等式的关键
六、典型例题

说明：这道题考察的是一元一次不等式的解法以及在数轴上表示解集。包括①移项②合并同类项③把系数化为1时，注意性质3的应用④数形结合。

说明：解一元一次不等式与一元二次方程根的判别式结合.

说明：解一元一次不等式与二次根式结合。

例5(2012年）14．解不等式组：