重点强化课函数图象与性质.doc

重点强化课(一)　函数的图象与性质
[复习导读]　函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．
重点1　函数图象的应用
　已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为
(　　) 【导学号：31222064】
A.∪
B.∪
C.∪
D.∪
A　[画出函数f(x)的图象，如图，

当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；
当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，
故有≤x≤.
因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，故f(x－1)≤的解集为∪.]　
[迁移探究1]　在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．
[解]　由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.12分
[迁移探究2]　在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．
[解]　函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.12分
[规律方法]　1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．
2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．
3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
[对点训练1]　已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．

图1
(－1,0)∪(1，]　[由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．]

重点2　函数性质的综合应用
角度1　单调性与奇偶性结合

　(1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝　　　　　　 B．y＝lg x
C．y＝|x|－1 D．y＝|x|
(2)(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是(　　)
A.
B.∪
C.
D.
(1)C　(2)C　[(1)函数y＝是奇函数，排除A；函数y＝lg x既不是奇函数，也不是偶函数，排除B；当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|x|＝x单调递减，排除D；函数y＝|x|－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.
(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.]
角度2　奇偶性与周期性结合
　(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________.
－3　[令g(x)＝asin 2x＋btan x，则g(x)是奇函数，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，则g(3)＝－g(－3)＝－4，则f(π＋3)＝g(π＋3)＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]
角度3　单调性、奇偶性与周期性结合
　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
D　[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，
所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]　
[规律方法]　函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法
(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
重点3　函数图象与性质的综合应用
　(1)(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,1) B．[0,2]
C．[－2,2) D．[－1,2)
(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
(1)D　(2)C　[(1)由题意知g(x)＝
因为g(x)有三个不同的零点，
所以2－x＝0在x＞a时有一个解．由x＝2，得a＜2.
由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，
由x≤a，得a≥－1.
综上，a的取值范围为[－1,2)．
(2)函数f(x)＝的图象如图所示，

当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数f(x)＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．]　
[规律方法]　解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．
[对点训练2]　(2017·云南二次统一检测)已知f(x)的定义域为实数集R，∀x∈R，f(3＋2x)＝f(7－2x)，若f(x)＝0恰有n个不同实数根，且这n个不同实数根之和等于75，则n＝________.
15　[由f(3＋2x)＝f(7－2x)得函数f(x)的图象关于直线x＝5对称，则f(x)＝0的n个实根的和为5n＝75，解得n＝15.]
重点强化训练(一)　函数的图象与性质
A组　基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　　)
【导学号：31222065】
A．－　　　　　　　　 B.
C．2 D．－2
B　[因为函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()＝log2＝.]
2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
C　[用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.]
3．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
C　[因为函数f(x)在定义域上单调递增，
又f(－2)＝3－2－1－2＝－＜0，
f(－1)＝3－1－－2＝－＜0，
f(0)＝30＋0－2＝－1＜0，
f(1)＝3＋－2＝＞0，所以f(0)f(1)＜0，
所以函数f(x)的零点所在区间是(0,1)．]
4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　)
【导学号：31222066】
A．[1,2] B.
C. D．(0,2]
C　[∵f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2.∵f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.]
5．(2017·陕西质检(二))若f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有＜0，则(　　)
A．f(3)＜f(1)＜f(－2) B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(－2)＜f(1)
D　[由对任意的x1，x2∈[0，＋∞)，＜0得函数f(x)为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f(x)为偶函数，所以f(3)＜f(2)＝f(－2)＜f(1)，故选D.]
二、填空题
6．函数y＝f(x)在x∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x∈[－2,2]时，f(x)＋f(－x)＝________.
【导学号：31222067】

图2
0　[由题图可知，函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＋f(－x)＝0.]
7．若函数y＝log2(ax2＋2x＋1)的值域为R，则a的取值范围为________．
[0,1]　[设f(x)＝ax2＋2x＋1，由题意知，f(x)取遍所有的正实数．当a＝0时，f(x)＝2x＋1符合条件；当a≠0时，则解得0＜a≤1，
所以0≤a≤1.]
8．(2017·银川质检)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，则满足f(x－1)＜0的x的取值范围是________．
(－∞，－1)∪(1,3)　[依题意当x∈(1，＋∞)时，f(x－1)＜0＝f(2)的解集为x＜3，即1＜x＜3；当x∈(－∞，1)时，f(x－1)＜0＝f(－2)的解集为x＜－1，即x＜－1.综上所述，满足f(x－1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x，当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解，两个解？
[解]　令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示.3分
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分
当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，原方程有两个解.12分
10．函数f(x)＝m＋logax(a＞0且a≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)令g(x)＝2f(x)－f(x－1)，求g(x)的最小值及取得最小值时x的值．
[解]　(1)由得3分
解得m＝－1，a＝2，
故函数解析式为f(x)＝－1＋log2x.5分
(2)g(x)＝2f(x)－f(x－1)
＝2(－1＋log2x)－[－1＋log2(x－1)]
＝log2－1(x＞1).7分
∵＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝4.
9分
当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．
而函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
则log2－1≥log24－1＝1，
故当x＝2时，函数g(x)取得最小值1.12分
B组　能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式＜f(1)的解集为(　　)
A. B．(0，e)
C. D．(e，＋∞)
C　[f(x)为R上的奇函数，则f＝f(－ln x)＝－f(ln x)，所以＝＝|f(ln x)|，即原不等式可化为|f(ln x)|＜f(1)，所以－f(1)＜f(ln x)＜f(1)，即f(－1)＜f(ln x)＜f(1)．又由已知可得f(x)在R上单调递增，所以－1＜ln x＜1，解得＜x＜e，故选C.]　
2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 019)的值为________．
【导学号：31222068】
0　[g(－x)＝f(－x－1)，由f(x)，g(x)分别是偶函数与奇函数，得g(x)＝－f(x＋1)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，则
f(2 019)＝f(505×4－1)＝f(－1)＝g(0)＝0.]
3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
[解]　(1)∵对于任意x1，x2∈D，
有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.3分
(2)f(x)为偶函数.4分
证明如下：令x1＝x2＝－1，
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
∴f(－1)＝f(1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数.7分
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知，f(x)是偶函数，
∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).9分
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴0<|x－1|<16，
解得－15<x<17且x≠1，11分
∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.12分