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实验2-行列式与方程组的求解

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10

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2 行列式与方程组的求解
1. 求行列式的命令；
2. 求矩阵秩的命令;
3. 求矩阵的最简行矩阵的命令;
4. 满秩线性方程组的各种方法；
5. 符号变量的应用；
6. 验证与行列式相关的公式和定理。

例2。1 已知非齐次线性方程组：
，
要求用下列方法求解该方程组。
(1)求逆矩阵法；
（2）矩阵左除法；
(3）初等行变换；
（4）克莱姆法则.
解:（1）把非齐次线性方程组写为矩阵形式：
，则,直接在MATLAB的命令窗口输入：
A=［6，2，3，4，5;2,-3，7,10，13;3，5，11,—16，21；2，-7,7,7,2；7,3,—5，3，10];
b=［80;59;90;22;85］；
x=inv（A)*b
％或：x=A^—1*b
计算结果为:
x =
9。0000
3.0000
2.0000
1。0000
2.0000
（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，
Matlab软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，
针对方程组的矩阵形式,可用左除法
等式两端同时左除A，得到:“”，即
针对矩阵方程,，可用右除法，等式两端同时右除A,，
即
在MATLAB命令窗口中输入：
A=[6,2,3,4，5；2，—3,7，10,13;3,5,11,-16,21;2,—7，7,7,2;7，3,-5，3，10];
b=[80；59；90;22;85]；
x=A\b
％ 符号“\”即为左除运算，注意它的方向.
结果为：
x =
9.0000
3。0000
2。0000
1.0000
2。0000
（3)用初等行变换,
把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，
从而得到方程组的解.在MATLAB命令窗口中输入：
A=［6，2,3，4,5;2,-3，7，10，13;3,5，11，—16,21；2,-7,7,7，2；7,3，-5,3,10］；
b=[80;59；90;22；85];
U=rref（[A,b］)
运算结果为：
U =
1 0 0 0 0 9
0 1 0 0 0 3
0 0 1 0 0 2
0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 2
（4）根据克莱姆法则,有：，
其中是方程组的系数行列式，
是用常数列向量b代替系数行列式的
第i列所得到的行列式。
用Matlab的M文件编辑器，编写la01。m文件如下：
% 用克莱姆法则求解方程组
clear ％ 清除变量
n=input('方程个数n＝’） % 请用户输入方程个数
A=input（’系数矩阵A=’) % 请用户输入方程组的系数矩阵
b=input(’常数列向量b=’） % 请用户输入常数列向量
if (size(A）～=[n，n］） ｜ (size(b）~=［n,1])
% 判断矩阵A和向量b输入格式是否正确
disp（'输入不正确,要求A是n阶方阵，b是n维列向量'）
％ disp：显示字符串
elseif det(A)==0 % 判断系数行列式是否为零
disp（’系数行列式为零,不能用克莱姆法则解此方程.'）
else
for i=1：n ％ 计算x1,x2,..。xn
B=A; % 构造与A相等的矩阵B
B(:，i）=b； ％ 用列向量b替代矩阵B中的第i列
x(i)=det（B）/det（A）； ％ 根据克莱姆法则计算x1，x2,。.。xn
end
x=x' % 以列向量形式显示方程组的解
end
在MATLAB命令窗口中输入：
la01
得到以下人机对话结果：
方程个数n＝5
n =
5
系数矩阵A=
［6,2，3，4，5；2，—3，7，10，13；3，5，11，—16，21；2，-7,7，7，2;7,3，-5,3,10]
A =
6 2 3 4 5
2 —3 7 10 13
3 5 11 -16 21
2 —7 7 7 2
7 3 —5 3 10
常数列向量b=[80；59；90;22；85］
b =
80
59
90
22
85
x =
9
3
2
1
2
例2。2求矩阵
的逆,要求用以下方法：
(1）矩阵左除和右除运算；
（2）初等行变换;
(3）利用伴随矩阵求逆的公式。
解:在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la02.m：
％ 逆矩阵各种求法：
clear
A=[—7,—2，-6，4，6;1，3，-6,3,11;3,-11，9,5，—2；—3,0，-2,9,-3；7,30,-18,11,4］;
％ 1。命令法：
An1=inv(A）
％ 2.幂运算法：
An2=A^-1
% 3。右除法：
An3=eye(5)/A ％ eye（5)为5阶单位矩阵
% 4。左除法：
An4=A\eye(5)
% 5.初等行变换法:
B=rref(［A，eye（5)])； ％ 对矩阵[A ， I] 进行初等行变换
％ B为矩阵A的最简行阶梯矩阵
if(rank（B(：，1:5））==5) % 判断最简行阶梯矩阵B的前5列是否为单位阵
An5=B（：,6：10） % 取出矩阵的后5列，并显示
else
disp（'A不可逆');
end
% 6.伴随矩阵求逆法：
for i=1:5 ％ 构造伴随矩阵的5×5个元素
for j=1：5
T=A; % 把矩阵A赋给矩阵T
T（i,:)=［］； ％ 删去矩阵T的第i行
T（：,j)=[]； % 删去矩阵T的第j列
％ 此时，|T| 为矩阵A元素aij的余子式
AA(j,i）=(-1)^(i+j)*det(T);
% 算出aij的代数余子式
％ 并放入矩阵AA的第j行、第i列
% 当循环结束，矩阵AA即为A的伴随矩阵
end
end
if det（A)~=0
An6=AA/det(A)
else
disp(’A不可逆’);
end
运算程序la02，前四个方法计算结果相同:
1.0e+004 ＊
-1.5895 1。3448 —1。0646 1。6206 —0。6308
1.6298 —1.3789 1。0916 -1。6617 0。6468
2。5392 -2.1483 1。7007 -2。5889 1.0077
0。3631 —0.3072 0。2432 -0.3702 0.1441
0。9860 -0.8342 0.6604 —1。0053 0。3913
后两个方法计算结果相同：
-15895 13448 -10646 16206 —6308
16298 -13789 10916 —16617 6468
25392 —21483 17007 -25889 10077
3631 —3072 2432 -3702 1441
9860 -8342 6604 -10053 3913
从计算结果可以发现，
前四个方法得到的是实数矩阵，
而后两个方法得到的是整数矩阵。
如果在Matlab环境下，键入：
format long
然后再重新运行该程序，
会发现前四个方法的运算结果存在误差,
这是计算机做数值运算时,存在舍入误差的原因。
为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差,
现在用上述六种方法来计算矩阵的逆，
A=[1,2，3;10,10，10；11，12，13]
前四种方法得到以下类似结果:
Warning： Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 2.135044e-018。
ans =
1.0e+015 ＊
—4。5036 —4。5036 4。5036
9.0072 9.0072 —9。0072
-4.5036 —4.5036 4.5036
显然此结果是不正确的,因为A不可逆。
例2.3 解方程：。
解：Matlab软件定义了“符号变量”的概念.
在MATLAB的M文件编辑器中，
应用“符号变量”编写程序la03.m：
% 求解符号行列式方程
clear all % 清除各种变量
syms x % 定义x为符号变量
A=[3，2,1,1；3，2，2—x^2,1；5，1，3，2；7—x^2，1,3，2］
％ 给矩阵A赋值
D=det（A） % 计算含符号变量矩阵A的行列式D
f=factor（D） ％ 对行列式D进行因式分解
％ 从因式分解的结果，可以看出方程的解
X=solve（D) % 求方程“D＝0”的解
在MATLAB的命令窗口输入：
la03
运行结果为：
A =
［ 3, 2, 1， 1]
［ 3, 2, 2-x^2， 1］
［ 5, 1， 3， 2］
[ 7—x^2, 1， 3, 2］
D =
-6+9＊x^2—3＊x^4
f =
-3＊(x—1)*(x+1）＊(x^2—2)
X =
[ 1］
［ —1］
[ 2^(1/2) ]
［ -2^（1/2）］
例2。4 请用Matlab软件验证行列式按行（列）展开公式：

解：在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la04.m:
% 验证行列式按行（列）展开公式
clear
A=round（10*randn（5））; % 构造5阶随机数方阵
D=det(A); ％ 计算矩阵A的行列式
％ 矩阵A按第一行元素展开:s=a11*A11+a12*A12+…+a15*A15
s=0；
for i=1：5
T=A;
T(1，：）=[］； ％ 删去阵矩第1行
T（：，i)=［]； % 删去矩阵第i列
% 此时，|T｜ 为矩阵A元素a1i的余子式
s=s+A（1,i)*（-1)^(1+i)*det（T)；
end
e=D—s % 验算D与s是否相等
在MATLAB的命令窗口中输入：
la04
计算结果为：
e =
0
在MATLAB的M文件编辑器中，编写程序la05。m：
% 计算5阶方阵A的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和:
％ s=a11*A31+a12＊A32+…+a15*A35
clear
A=round（10＊randn（5)）； ％ 构造5阶随机数方阵
s=0；
for i=1：5
T=A；
T（3，：）=[]; % 删去矩阵第3行
T(:,i）=[]； % 删去矩阵第i列
％ 此时，|T｜ 为矩阵A元素a3i的余子式
s=s+A(1，i）＊(-1）^（3+i)＊det（T）;
end
s ％ 验算s是否为0
在MATLAB命令窗口中输入：
la05
计算结果为：
s =
0

例2。5 计算行列式的值。
解 在MATLAB编辑器中建立M文件：
syms a b c d
A=［1 1 1 1;a b c d;a^2 b^2 c^2 d^2;a^4 b^4 c^4 d^4];
d1=det(A)
d2=simple(d1) ％用 simple函数化简表达式d1
pretty（d2） ％用pretty函数使表达式d2符合人们的书写习惯。
则结果显示为：
d1 =
b*c^2*d^4-b*d^2*c^4-b^2＊c＊d^4+b^2*d*c^4+b^4*c*d^2—b^4*d＊c^2-a*c^2*d^4+a*d^2*c^4+a*b^2＊d^4-a*b^2＊c^4—a＊b^4＊d^2+a＊b^4＊c^2+a^2＊c*d^4-a^2*d＊c^4-a^2＊b*d^4+a^2*b*c^4+a^2＊b^4*d—a^2＊b^4＊c—a^4＊c＊d^2+a^4＊d＊c^2+a^4＊b＊d^2—a^4*b*c^2—a^4*b^2*d+a^4＊b^2＊c
d2 =
（—d+c）*（b-d)＊(b-c）＊（—d+a)＊（a-c）＊（a-b）*（a+c+d+b) （-d + c） （b - d） （b - c） （—d + a) （a - c) （a — b） (a + c + d + b)