四边形知识点总结大全(学生用).doc

四边形知识点总结大全
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.
3．平行四边形的性质：因为ABCD是平行四边形Þ
4.平行四边形的判定：.
5.矩形的性质：因为ABCD是矩形Þ
6. 矩形的判定：Þ四边形ABCD是矩形.
7．菱形的性质：因为ABCD是菱形Þ
8．菱形的判定：Þ四边形四边形ABCD是菱形.
9．正方形的性质：因为ABCD是正方形Þ
（1） （2）
10．正方形的判定：
Þ四边形ABCD是正方形.
如：(3)∵ABCD是矩形 又∵AD=AB ∴四边形ABCD是正方形
11．等腰梯形的性质：因为ABCD是等腰梯形Þ
12．等腰梯形的判定：Þ四边形ABCD是等腰梯形
如：(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC 又∵AC=BD ∴ABCD四边形是等腰梯形
14．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

15．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

公式：
1．S菱形 =ab=ch.（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）
2．S平行四边形 =ah. a为平行四边形的边，h为a上的高）
3．S梯形 =（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
四 常识：
※1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.
2．规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4．常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 …… ；仅是中心对称图形的有：平行四边形 …… ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 …… .注意：线段有两条对称轴.
※5．梯形中常见的辅助线：

二、梯形常见的辅助线
1.延长两腰交于一点
　　作用：使梯形问题转化为三角形问题。
　　若是等腰梯形则得到等腰三角形。　　

2.平移一腰
　　作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。

3.作高　　　　
　　作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。

4.平移一条对角线
　　作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和　
　　（2）S梯形ABCD=S△DBE

5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。  
　　作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=S△ABF。　　

例题
例1：如图1，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F. 求证：∠BAE =∠DCF.
（图1）
C
A
B
D
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE =∠CDF，AB= CD.
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB =∠CFD = 90°，
∴△ABE≌△CDF.
∴∠BAE =∠DCF.
O
A
B
C
D
E
F
（图2）
例2：如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.
求证：BE = CF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB = OC.
又∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO =∠CFO = 90º.
∵∠BOE =∠COF.
∴△BOE≌△COF. ∴BE = CF.
评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以及全等三角形的判定.
例3如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.
A
D
B
C
E
F
(图3)
M
N
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB = CD，∠A =∠C.
∵AE = CF，∴△ABE≌△CDF.
（2）解析： 四边形MFNE是平行四边形.
∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB =∠CFD，BE = DF.
又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME = FN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB =∠FBE.
∴∠CFD =∠FBE. ∴EB∥DF，即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
评注：本题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论.
图4

A

B

C

D

E

F

O

例4如图4， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC. ∴∠EAC =∠FCA.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA = OC，∠EOA =∠FOC，EA = EC.
∴△EOA≌△FOC . ∴AE = CE.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EA = EC，
∴四边形AFCE是菱形.
例5如图5，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.
图5

B

C

D

A

E

F

（1）如果 ，则△DEC≌△BFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论.

解析：本题是一道条件开放型问题，答案不唯一.
（1）①AE=CF；②OE = OF；③DE⊥AC，BF⊥AC；④DE∥BF等.
（2）①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB ∥ CD. ∴∠DCE =∠BAF.
∵AE=CF，∴AC－AE = AC－CF，即AF = CE.
∴△DEC≌△BFA.
例6如图6，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.
（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；
（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.
解析：（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形. ∴∠ABC =∠DCB.
又∵BC = CB，AB = DC，
图7

B

A

D

C

O

F

E

G

∴△ABC≌△DCB. ∴∠ACB =∠DBC.
又∵EG∥AC，∠ACB =∠GEB.
∴∠DBC=∠GEB. ∴EG = BG.
∵EG∥OC，EF∥OG，
∴四边形EGOF是平行四边形.
∴OE = OF，EF = OG.
∴四边形EGOF的周长 = 2（OG＋GE）= 2（OG＋GB）= 2OB.
（2）如图7，已知在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点C.
求证：四边形EFOG的周长等于2OB
注意：若将矩形改为正方形，原结论成立吗？

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