离散型随机变量的期望与方差---典型例题教学设计示例1范文.doc

(完整word)离散型随机变量的期望与方差 典型例题教学设计示例1范文
13。2。1 离散型随机变量的期望与方差—期望
一．教学目标：
1．了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．
2．理解公式“”，以及“若，则”．能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望．
二．教学重点：离散型随机变量的期望的概念及其求法．
教学难点：离散型随机变量的期望的概念的理解．
三．教学用具：投影仪
四．教学过程：
1．复旧引新
（1)离散型随机变量的分布列的概念、性质．
（2）离散型随机变量服从二项分布的概念、例子．
（3）提出教科书中“某射手射击所得环数的分布列”的例子,可问：我们能否通过计算,预计该射手n次射击的平均环数？
2．提出离散型随机变量ξ的数学期望Eξ的概念及公式E（aξ+b）=aEξ+b
在复习、思考、计算与讨论的基础上,教师可问:从多名射手中选拔一名参加射击比赛，我们能否根据他们各自射击的平均成绩（数学期望）作为选拔的一项标准？同时概括出：
引例：某射手射击所得的环数ξ的分布列如下;
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0。02
0.04
0。06
0.09
0。28
0。29
0.22
在n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但是可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数。
根据这个射手射击所得的环数ξ的分布列，在n次射击中,预计大约有
P（ξ=4)×n=0.02n次得4环,
P(ξ=5)×n=0。04n次得5环，
P（ξ=6)×n=0.06n次得6环,
……
P（ξ=10)×n=0。22n次得10环，
n次射击的总环数约等于：4×0.02n+5×0。04n+6×0.06n+……+10×0。22n
=（4×0.02+5×0。04+6×0。06+……+10×0.22）n
从而，n次射击的平均环数约等于
4×0.02+5×0.04+6×0.06+……+10×0。22=8。32
类似地,对任一射手,若已知其射击所得的环数ξ的分布列，即已知各个P(ξ=i)（i=1,2，3，…，10），则可预计他任意n次射击的平均环数是
Eξ=0×P(ξ=0）+1×P（ξ=1)+2×P(ξ=2）+……+10×P(ξ=10)
我们称Eξ为此射手射击所得的环数ξ的期望，它刻化了随机变量ξ所取的平均值，从另一方面反映了射手的射击水平。
一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均数、均值．数学期望简称为期望．
根据数学期望的概念及前面所学知识,推导出公式E(aξ+b)=aEξ+b
3．例题讲解
例1 随机抛掷一枚骰子，求所得的点数ξ的期望。
估计学生对教科书中的例1和例2的理解不存在困难，所以讲此例之前可布置学生自学这两道例题．
例2、某车间在三天内，每天生产10件某产品,其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品,则当天的产品不能通过。
（I）求第一天通过检查的概率；
（II)求前两天全部通过检查的概率;
（III）（理科做，文科不做）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分,通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分的数学期望。
解：(I)随意抽取4件产品检查是随机事件,而第一天有9件正品
第一天通过检查的概率为
（II)同（I），第二天通过检查的概率为
因第一天，第二天是否通过检查相互独立
所以,两天全部通过检查的概率为：
（II）记得分为,则的值分别为0，1，2

因此，
例3 接第1节例3，若随机变量的概率分布为
ξ
15
16
17
18
P
0。1
0.5
0。3
0.1
求所收租车费η的数学期望．
解：依题意，得

答:所收租车费的期望是34.8元．
4、考察服从两点分布、二项分布及几何分布的随机变量的期望：
⑴服从两点分布的随机变量的期望
例4．(即教科书中例1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚球不中得0分,已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球一次的得分ξ的期望。（服从两点分布的随机变量的期望)
⑵服从二项分布的随机变量的期望
提出并推导若ξ~B（n，p)，则Eξ=np
例5、（即教科书中例4)一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作答或答错不得分,满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0。9，学生乙则在测验中对每题都从四个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。（服从二项分布的随机变量的期望）
解：设学生甲和学生乙在这次英语单元测验中选择了正确答案的选择题的个数分别为ξ和η，则
ξ～B（20,0.9），η～B（20，0.25）
所以，Eξ=20×0。9=18，Eη=20×0。25=5
由于，选择正确答案得5分,学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩分别为5ξ和5η。
所以，学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望分别为
E(5ξ)=5Eξ=5×18=90,
E（5η）=5Eη=5×5=25
例6、某厂生产电子元件，其次品率为5％，现在从一批产品中任意地连续取出两件，其中次品数ξ的分布列及数学期望Eξ.
例7、为了测试甲、乙两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次,其中甲击中目标7次，乙击中目标6次.若再让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，求：
（I）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？
（II）(理科做)分别求甲、乙两名运动员击中目标次数ξ、η的数学期望Eξ、Eη的值。(服从二项分布的随机变量的期望)
解（I）设甲击中目标2次的事件为A，P（A）=C×(0.7)2×(1－0.7)=0。441，
（II)理： 甲射中0次概率C×（1－0.7)3=0.027，
射中一次概率C×(1－0.7）2=0.189，射中二次概率C2×(1－0。7)2=0.441，
射中三次概率C（0.7）3=0.343,Eξ=1×0。189+2×0。441+3×0。343=2.1。
乙射中0次概率C×(1－0。6)3=0。064，射中一次概率C×(1－0.6)2=0。288，
射中二次概率C×（1－0.6）=0。432，
射中三次概率C=0。216,Eη=1×0。288+2×0.437+0.216×3=1.8。
⑶服从几何分布的随机变量的期望
重复进行独立试验，每次试验只有成功、失败两种可能，如果每次试验成功的概率为p，重复试验直到出现一次成功为止，则需要的试验次数是一个随机变量，用ξ表示，因此事件｛ξ＝n}表示“第n次试验成功且前n－1次试验均失败”．所以,其分布列如表1-4所示：
ξ
1
2
…
n
…
P
p
p(1－p)
…

…
例8、袋中有1个红球和9个白球，每次从中任取一个，取后放回,直到取得红球为止,求取球次数的分布列及期望(服从几何分布的随机变量的期望）
解：设取球次数为ξ，ξ的可能取值为1,2，3，4，…,n，…
P（ξ=k)=g(k，0。1）=0。9k—1×0.1
ξ的分布列为
ξ
1
2
3
…
n
…
P
0。1
0。9×0.1
0。92×0。1
…
0。9n-1×0.1
…
ξ服从几何分布
Eξ==10
若ξ服从几何分布(P（ξ=k）=g（k,p）=（1—p）k—1×p）,则Eξ=

例9、（即教科书中例3)有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽一件，如果抽出次品，则抽查终止;否则，继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次。求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）.(不服从几何分布）
7．课堂练习
做教科书第12页中的“练习"．
8．归纳总结
（1）本课从一个具体例子入手，引入离散型随机变量的期望的概念和意义,介绍了公式，以及服从二项分布的随机变量的期望．
(2)对学生做的练习进行点评．
五．布置作业:
教科书习题1.2第1、4、5、6题．
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