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(完整版)二次函数与三角形判定
二次函数与三角形判定
1. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A（－1,0)、B两点，与y轴交于C（0，－3），顶点为D.
（1)求抛物线表达式；
（2）点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标．

第1题图
解：（1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过A(－1,0）、C（0，－3)，
∴，解得，
∴抛物线表达式为y＝x2－2x－3；
(2)由（1）知抛物线对称轴为x＝－＝1，则设N（1，n），易知B(3，0），
则BN＝,NC＝，BC＝3，
如解图，连接NC、NB，
①若∠BNC＝90°，则BC2＝BN2＋NC2，
即18＝4＋n2＋1＋9＋6n＋n2，
∴n2＋3n－2＝0,
∴解得n＝，
∴N（1，）或N（1,）；
②若∠NBC＝90°，则NC2＝BN2＋BC2,
即1＋9＋6n＋n2＝4＋n2＋18， 第1题解图
∴n＝2，
∴N（1，2);
③若∠NCB＝90°，则BN2＝NC2＋BC2，
即4＋n2＝1＋9＋6n＋n2＋18，
∴n＝－4，
∴N(1，－4)．
综上，当N(1，）或N（1，）或N（1，2）或N(1，－4)时,以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形．
2. 已知抛物线y＝－x2＋2x＋m－1过原点O，与x轴的另一个交点为A，顶点为D，我们称由抛物线的顶点和与x轴的两个交点组成的三角形为该抛物线的“顶点三角形”．
（1)求m的值；
(2)判断该“顶点△ADO"的形状，并说明理由；
(3）将此抛物线平移后，经过点C(1，0），且“顶点三角形"为等边三角形,求平移后的抛物线表达式．
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋m－1经过坐标原点,
∴把(0，0)代入表达式得m－1＝0，∴m＝1;
(2)该“顶点△ADO”为等腰直角三角形．理由如下：
如解图①，∵m＝1，∴抛物线表达式为y＝－x2＋2x，
变形为y＝－（x－1）2＋1，
∴点D坐标为（1，1)，
∴OD＝。
把y＝0代入表达式得，x1＝0，x2＝2，∴A点坐标为(2,0）,
∴AD＝，OA＝2，
∴OD＝AD,OA2＝OD2＋AD2,∴∠ADO＝90°，
∴△ADO为等腰直角三角形；

图① 图②
第2题解图
(3）如解图②，设所求抛物线表达式为y＝－x2＋bx＋c，
∵抛物线经过点C(1，0）,
∴b＋c＝1①，
设点D′为平移后抛物线顶点,
∴D′（，)，
∵tan∠D′CE＝tan60°＝＝②,
①②两式联立，解得b＝2＋2，c＝－2－1,(b＝2，c＝－1舍去)
∴平移后抛物线的表达式为y＝－x2＋(2＋2）x－1－2.
3. 已知抛物线y＝－x2＋2x－3.
（1)说明抛物线与x轴的交点情况以及抛物线在坐标系中经过的象限；
(2)将抛物线y＝－x2＋2x－3平移，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点，且点B的坐标为(2，0），顶点为点M.若△ABM恰好是等腰直角三角形,求平移后的抛物线的表达式．
解:（1)∵b2－4ac＝4－12＝－8〈0,
∴抛物线与x轴没有交点;
∵a＝－1<0,
∴抛物线开口向下,
∴抛物线过第三、四象限；
（2）∵抛物线是轴对称图形，
∴MA＝MB，
若△ABM恰好是直角三角形，则MA⊥MB，
设M(a，b），则平移后抛物线的表达式为y＝－（x－a）2＋b，
如解图，①当点A1在点B左侧时，过点M1作M1C1⊥x轴于点C1,则BC1＝M1C1＝2－a＝b，

第3题解图
∴y＝－(x－a）2＋2－a，
把（2，0)代入y＝－(x－a）2＋2－a，得
0＝－（2－a)2＋2－a，即a2－3a＋2＝0,
解得a1＝1，a2＝2（不符合题意，舍去)，
∴平移后抛物线的表达式为y＝－（x－1）2＋1；
②当点A2在点B右侧时，过点M2作M2C2⊥x轴于点C2，则BC2＝M2C2＝a－2＝b，
∴y＝－（x－a）2＋a－2，
把（2,0）代入y＝－（x－a)2＋a－2，
得0＝－(2－a）2＋a－2，
即a2－5a＋6＝0,
解得a1＝3，a2＝2（不符合题意，舍去),
∴平移后抛物线的表达式为y＝－（x－3）2＋1。
综上所述,平移后抛物线的表达式为y＝－（x－1）2＋1或y＝－(x－3)2＋1。