三角形总复习(含答案).pdf
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1、-1-三角形复习三角形复习【知识精读知识精读】1.三角形的内角和定理与三角形的外角和定理;2.三角形中三边之间的关系定理及其推论;3.全等三角形的性质与判定;4.特殊三角形的性质与判定(如等腰三角形);5.直角三角形的性质与判定。三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看,许多内容应用十分广泛,可以解决一些简单的实际问题;从证题方法来看,全等三角形的知识,为我们提供了一个及为方便的工具,通过证明全等,解决证明两条线段相等,两个角相等,从而解决平行、垂直等问题。因此,它揭示了研究封闭图形的一般方法,为以后的学习提供了研究的工具。因此,在学习中我们应该多总结,多归纳,使知识更加系统化,
2、解题方法更加规范,从而提高我们的解题能力。【分类解析分类解析】1.三角形内角和定理的应用三角形内角和定理的应用 例 1.如图 1,已知中,于 D,E 是 AD 上一点。ABCBACAD BC90,求证:BEDCABDCE图1-2-证明:证明:由 ADBC 于 D,可得CADABC 又 ABDABEEBD 则ABDEBD 可证CADEBD 即BEDC 说明:在角度不定的情况下比较两角大小,如果能运用三角形内角和都等于 180间接求得。2.三角形三边关系的应用三角形三边关系的应用 例 2.已知:如图 2,在中,AM 是 BC 边的中线。ABCABAC 求证:AMABAC12CAMBD图2 证明:证
3、明:延长 AM 到 D,使 MDAM,连接 BD 在和中,CMABMDAMDMAMCDMBCMBM,CMABMDBDAC 在中,而ABDABBDADADAM 2 ABACAMAMABAC212-3-说明:在分析此问题时,首先将求证式变形,得,然后通过倍长中2AMABAC线的方法,相当于将绕点旋转 180构成旋转型的全等三角形,把 AC、AB、2AMAMC转化到同一三角形中,利用三角形三边不等关系,达到解决问题的目的。很自然有。请同学们自己试着证明。1212ABACAMABAC 3.角平分线定理的应用角平分线定理的应用 例 3.如图 3,BC90,M 是 BC 的中点,DM 平分ADC。求证:A
4、M 平分 DAB。DABMGC图3 证明:证明:过 M 作 MGAD 于 G,DM 平分ADC,MCDC,MGAD MCMG(在角的平分线上的点到角的两边距离相等)MCMB,MGMB 而 MGAD,MBAB M 在ADC 的平分线上(到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上)DM 平分ADC 说明:本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MGMB。同时要注意不必证明三角形全等,否则就是重复判定定理的证明过程。4.全等三角形的应用全等三角形的应用 (1)构造全等三角形解决问题-4-例 4.已知如图 4,ABC 是边长为 1 的等边三角形,BDC 是顶角(BDC)为1
5、20的等腰三角形,以 D 为顶点作一个 60的角,它的两边分别交 AB 于 M,交 AC 于N,连结 MN。求证:的周长等于 2。AMNDMCNAMB图4 分析:分析:欲证的周长等于 2,需证明它等于等边的两边的长,只需证AMNABC。采用旋转构造全等的方法来解决。MNBMCN 证明:以点 D 为旋转中心,将顺时针旋转 120,点 B 落在点 C 的位置,点DBMM 落在 M点的位置。得:MBDNCD90 Rt MBDRt M CDDCMDBM90 NCD 与DCM构成平角,且BMCM,DMDM,NDMNDCCDMNDCBDM1206060 在和中,MDNM DN DMDMMDNM DNDND
6、N,60 MDNM DN SASMNM NM NM CCNBMCNMNBMCN()的周长AMNAMANMNAMANBMCNABAC2-5-说明:通过旋转,使已知图形中的角、线段充分得到利用,促进了问题的解决。(2)“全等三角形”在综合题中的应用 例 5.如图 5,已知:点 C 是FAE 的平分线 AC 上一点,CEAE,CFAF,E、F 为垂足。点 B 在 AE 的延长线上,点 D 在 AF 上。若 AB21,AD9,BCDC10。求AC 的长。CFDAEB图5 分析:分析:要求 AC 的长,需在直角三角形 ACE 中知 AE、CE 的长,而 AE、CE 均不是已知长度的线段,这时需要通过证全
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