分式方程的特殊解法.doc

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分式方程的特殊解法
分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法.
一、 分组通分法：
例1、 解方程
分析:要整个方程一起通分,计算量大又易出错.观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。
略解：方程两边分别通分，相减得

当时，，解得
当时,解得
经检验， 都是原方程的解
二、 分离分式法：
例2、解方程
分析：每个分式的分母与分子相差1,利用这特点可采用分离分式法求解
略解：原方程可变形为

整理得
当时，解得
当时，方程无解
经检验是原方程的解
练习：② 解：
三、 巧添常数
例3、解方程
解析：同样若整体通分,次数增高,运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天．
，即：
∴ 或 , 解得:
经检验， 都是原方程的根．
四、 运用方程的解求解
方程的解不难通过去分母法求得为,运用这一结论可以使具备此方程特征的这类方程的解法简捷。
例5、解方程
略解：原方程可变形为

或
解 得
解 得
经检验,， 都是原方程的解.
五、巧换元
例5、解方程
解析：解决此类问题要有敏锐的观察力和丰富的想象力,由于方程的两个分式互为倒数，可用换元法,设为，则原方程变形为
再联想到方程 的解是 ，
可得 或 解得 令人茅塞顿开,拍案叫绝．
经检验,都是原方程的根．
练习⑤ 解：

六、化积为差、裂项相消
例6.解方程 …
解析:这道题如果想整个分式方程通分去分母，化为整式方程求解,令人望而生畏,
即使大费周折,也难以如愿，若根据分式方程的结构特点,依据公式“”化积为差，裂项相消，则会化难为易,迅捷获解，真可谓构思巧妙,方法独特．．
原方程裂项为:…
去括号整理得 即 解得,经检验:是原方程的解
从以上几例可以看出,有些分式方程通分去分母,难以求解，以致“山穷水尽疑无路”，而根据方程的结构特点,灵活选用适当的方法和技巧，就能使问题化难为易，化繁为简,迎刃而解，收到事半功倍的奇效，真可谓“柳暗花明又一村"．