第四章解线性方程组的迭代法.doc

第四章 解线性方程组的迭代法4.1 迭代法和敛散性及其MATLAB程序4。1。2 迭代法敛散性的判别及其MATLAB程序用谱半径判别迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB主程序function H=ddpbj（B)H=eig(B）；mH=norm(H，inf);if mH=1disp(请注意：因为谱半径不小于1，所以迭代序列发散，谱半径mH和B的所有的特征值H如下：）elsedisp（请注意：因为谱半径小于1，所以迭代序列收敛，谱半径mH和B的所有的特征值H如下：)endmH4.2 雅可比(Jacobi)迭代及其MATLAB程序4.2.2 雅可比迭代的收敛性及其MATLAB程序判别雅可比迭代收敛性的MATLAB主程序function a=jspb（A)n m=size（A)； for j=1:ma（j)=sum(abs（A(：，j)）2（abs（A（j,j）)；endfor i=1：nif a（i)=0disp（请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛）returnendendif a（i)0disp(请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛 )end例4。2.2 用判别雅可比迭代收敛性的MATLAB主程序，判别由下列方程组的雅可比迭代产生的序列是否收敛？(1) （2)解 （1）首先保存名为jspb。m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序 A=10 1 2；1 10 2;-1 -1 5;a=jspb（A）运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛 a =-8 -8 -1（2）在MATLAB工作窗口输入程序 A=10 -1 -2;-1 10 2；-1 -1 0。5;a=jspb(A）运行后输出结果请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛a = -8.0000e+000 8.0000e+000 3.5000e+0004.2.3 雅可比迭代的两种MATLAB程序（一） 雅可比迭代公式的MATLAB程序用雅可比迭代解线性方程组的MATLAB主程序function X=jacdd（A,b,X0，P，wucha,max1）n m=size(A）； for j=1：ma（j)=sum(abs(A（:，j）2(abs（A(j,j）)；endfor i=1:nif a（i)=0disp(请注意：系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛)returnendendif a（i）0disp(请注意:系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且雅可比迭代收敛 ）endfor k=1：max1k for j=1:mX(j)=（b(j）A（j，1：j-1，j+1：m)*X0(1： j-1,j+1：m）)/A（j,j）；endX,djwcX=norm（XX0，P)； xdwcX=djwcX/（norm（X，P）+eps); X0=X；X1=Ab;if (djwcXwucha)&(xdwcXwucha)disp(请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 )enda,X=X；jX=X1,例4.2.3 用范数和判别雅可比迭代的MATLAB主程序解例4。2.2 中的方程组，解的精度为0。001，分别取最大迭代次数max1=100，5，初始向量X0=（0 0 0）T，并比较它们的收敛速度。解 （1)取最大迭代次数max1=100时。首先保存名为jacdd.m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序 A=10 1 2;1 10 -2;-1 -1 5； b=7。2；8。3;4。2； X0=0 0 0； X=jacdd（A，b,X0,inf，0.001，100)运行后输出结果 请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解,且雅可比迭代收敛请注意：雅可比迭代收敛，此方程组的精确解jX和近似解X如下: a = 8 -8 1jX = 1。1000 1。2000 1.3000X = 1。0994 1.1994 1.2993在MATLAB工作窗口输入程序 A=10 -1 2;1 10 2；1 -1 0。5; b=7。2;8。3；4.2; X0=0 0 0; X=jacdd（A,b,X0，inf, 0.001，100)运行后输出结果请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的，此雅可比迭代不一定收敛请注意：雅可比迭代收敛,此方程组的精确解jX和近似解X如下： a = 8.0000 -8.0000 3。5000jX = 24.5000 24。6000 106.6000X = 24.0738 24.1738 104。7974（2）取最大迭代次数max1=5时,在MATLAB工作窗口输入程序 A=10 -1 2;-1 10 2;1 -1 5; b=7。2；8.3；4.2; X0=0 0 0； X=jacdd(A，b，X0，inf，0.001，5)运行后输出结果请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，雅可比迭代收敛 请注意:雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 a = 8 8 1jX = 1.1000 1.2000 1.3000X = 1.0951 1.1951 1。2941在MATLAB工作窗口输入程序 A=10 -1 -2;-1 10 -2；1 -1 0。5； b=7.2；8。3;4.2； X0=0 0 0； X=jacdd(A,b,X0,inf， 0。001，5）运行后输出结果请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的,此雅可比迭代不一定收敛请注意：雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 a = 8.0000 -8。0000 3。5000jX = 24.5000 24。6000 106.6000X = 5。5490 5.6490 27.6553由（1）和（2）可见,如果系数矩阵是严格对角占优的,则雅可比迭代收敛的速度快；如果系数矩阵不是严格对角占优的，则雅可比迭代收敛的速度慢.因此， 的值越小，雅可比迭代收敛的速度越快。 （二）利用雅可比迭代定义编写的解线性方程组的MATLAB程序利用雅可比迭代定义编写解线性方程组（4.5)的MATLAB程序的一般步骤步骤1 在MATLAB工作窗口输入程序 A=a11 a12 a1n; a21 a22 a2n;； an1 an2 ann；D=diag（A）， U=triu（A，1）, L=tril（A,1）运行后即可输出；步骤2 在MATLAB工作窗口输入程序dD=det（D);if dD=0disp（请注意：因为对角矩阵D奇异,所以此方程组无解.)elsedisp（请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解。)iD=inv（D）; B1=iD*(L+U);f1=iDb;for k=1：max1X= B1X0+ f1； X0=X； djwcX=norm(XX0，P）; xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps）; X1=Ab；if (djwcXwucha)(xdwcXwucha） disp(请注意:雅可比迭代收敛，此方程组的精确解jX和近似解X如下： ） returnendendif (djwcXwucha）（xdwcXwucha)disp（请注意:雅可比迭代次数已经超过最大迭代次数max1 ）endenda，X=X；jX=X1，4。3 高斯塞德尔（Gauss-Seidel）迭代及其MATLAB程序4.3。3 高斯塞德尔迭代两种MATLAB程序（一） 高斯-塞德尔迭代定义的MATLAB程序1用高斯-塞德尔迭代定义解线性方程组的MATLAB主程序1function X=gsdddy(A,b，X0，P，wucha，max1）D=diag(diag(A);U=-triu（A，1)；L=tril(A，-1）; dD=det（D）；if dD=0disp(请注意:因为对角矩阵D奇异，所以此方程组无解。)elsedisp(请注意：因为对角矩阵D非奇异，所以此方程组有解。）iD=inv（DL)； B2=iD*U；f2=iD*b；jX=Ab； X=X0； n m=size(A）；for k=1：max1X1= B2*X+f2； djwcX=norm（X1X,P);xdwcX=djwcX/(norm(X,P）+eps);if （djwcXwucha)|（xdwcX A=3 4 5 7；2 -8 3 -2;4 51 -13 16；7 2 21 3;b=5；2；-1;21；X0=0 0 0 0；X=gsdddy(A，b,X0，inf，0.001，100）运行后输出结果请注意：因为对角矩阵D非奇异,所以此方程组有解。请注意：高斯塞德尔迭代的记过没有达到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X如下： jX = 0。1821 -0.2571 0。7286 1.3036X = 1.0e+142 0。2883 0.1062 0.3622 3.1374(二） 高斯塞德尔迭代公式的MATLAB程序2用高斯-塞德尔迭代解线性方程组的MATLAB主程序2function X=gsdd(A，b,X0,P，wucha,max1）n m=size(A）;for j=1：ma(j）=sum（abs（A（:，j)）2*（abs（A(j，j）)）;endfor i=1：nif a（i）=0disp（请注意:系数矩阵A不是严格对角占优的,此高斯塞德尔迭代不一定收敛)returnendendif a(i）0disp（请注意：系数矩阵A是严格对角占优的,此方程组有唯一解，且高斯-塞德尔迭代收敛 ）endfor k=1：max1 for j=1:m if j=1X（1）=(b（1）A（1，2：m)X0(2：m)）/A(1，1）endif j=mX（m)=（b(m）-A（m,1:M1)X（1:M1)）/A（m,m);endfor j=2：M1X(j）=（b(j)A（j,1:j-1)X（1:j-1） -A（j,j+1：m)X（j+1：m)）/A(j,j）;endenddjwcX=norm(X-X0，P); xdwcX=djwcX/(norm(X,P)+eps)； X0=X；X1=Ab;if (djwcXwucha）&（xdwcXwucha）disp(请注意：高斯塞德尔迭代次数已经超过最大迭代次数max1 ）enda,X=X；jX=X1， 4。4 解方程组的超松弛迭代法及其MATLAB程序4。4。2 超松弛迭代法收敛性及其MATLAB程序用谱半径判别超松弛迭代法产生的迭代序列的敛散性的MATLAB主程序function H=ddpbj（A，om）D=diag（diag(A)）;U=triu（A,1）;L=tril（A，-1）; iD=inv（DomL）；B2=iD(om*U+（1om)*D）; H=eig(B2);mH=norm（H,inf）；if mH=1disp(请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下：）elsedisp（请注意:因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛，谱半径mH和B的所有的特征值H如下:)endmH例4.4。1 当取=1.15，5时,判别用超松弛迭代法解下列方程组产生的迭代序列是否收敛？解 （1）当取=1。15时，首先保存名为ddpbj。m的M文件，然后在MATLAB工作窗口输入程序 A=5 1 1 -2；2 8 1 3；1 -2 -4 -1；1 3 2 7； H=ddpbj(A，1。15)运行后输出结果请注意：因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛,谱半径mH和B的所有的特征值H如下： mH = 0.1596H =0。1049 + 0.1203i 0.1049 0。1203i -0。1295 + 0。0556i -0。1295 - 0.0556i（2)当取=5时，然后在MATLAB工作窗口输入程序 H=ddpbj(A, 5）运行后输出结果请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散,谱半径mH和B的所有的特征值H如下： mH =14。1082H = -14.1082 2。5107 0.5996 + 2.6206i 0.5996 2。6206i4.4.3 超松弛迭代法的MATLAB程序用超松弛迭代法解线性方程组的MATLAB主程序function X=cscdd (A，b，X，om，wucha，max1)D=diag（diag（A）;U=triu（A,1);L=-tril（A,1); jX=Ab；n m=size(A）; iD=inv（D-omL）; B2=iD*(om*U+(1-om)*D); H=eig(B2）;mH=norm（H，inf）；for k=1:max1iD=inv（D-om*L）; B2=iD（om*U+(1-om）*D）; f2= om*iD*b； X1= B2*X+f2;X=X1； djwcX=norm(X1-jX,inf)； xdwcX=djwcX/(norm(X，inf)+eps)；if (djwcX max1disp(迭代次数已经超过最大迭代次数max1，谱半径mH,方程组的精确解jX，迭代次数i如下： )mH,D，U，L,jX=jX, i=k-1,endendendif mH=1disp（请注意：因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.）disp（谱半径mH,A的分解矩阵D,U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i和迭代序列X如下：)i=k1，mH,D，U,L，jX,else disp(因为谱半径小于1,所以超松弛迭代序列收敛，近似解X如下： )end或function X=cscdd1 (A,b,X,om，wucha，max1)D=diag（diag(A）)；U=triu(A，1）;L=-tril（A，-1）； jX=Ab;n m=size(A)； iD=inv(Dom*L）; B2=iD（om*U+（1-om）D); H=eig(B2);mH=norm(H,inf)；for k=1:max1iD=inv（D-omL）; B2=iD*(om*U+（1om）*D); f2= omiDb； X1= B2*X+f2； X=X1; djwcX=norm(X1-jX,inf）; xdwcX=djwcX/（norm(X,inf)+eps）；endif mH=1disp(请注意：因为谱半径不小于1,所以超松弛迭代序列发散.谱半径mH，A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX和近似解X如下：)elsedisp(请注意:因为谱半径小于1，所以超松弛迭代序列收敛。）if （djwcXwucha)|(xdwcX A=5 1 -1 2;2 8 1 3；1 2 4 1;-1 3 2 7;b=4；1；6；3;X=0 0 0 0;X=cscdd （A,b，X,1。15,0.001，100），运行后输出结果谱半径mH,A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i如下: mH = 0。1596D = 5 0 0 0 0 8 0 0 0 0 -4 0 0 0 0 7U = 0 -1 1 2 0 0 -1 3 0 0 0 1 0 0 0 0L = 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 1 -3 -2 0jX = 0。4491 0。2096 -1。4850 -0。0299i = 3因为谱半径小于1,所以超松弛迭代序列收敛，近似解X如下： X = 0.4484 0。2100 -1。4858 -0。0303（2）当取=5时，保存名为cscdd.m的M文件,然后在MATLAB工作窗口输入程序 A=5 1 -1 2;2 8 1 3;1 2 4 -1；-1 3 2 7;b=4；1；6；3;X=0 0 0 0；X=cscdd （A,b，X，5，0.001，100），运行后输出结果如下：请注意:因为谱半径不小于1，所以超松弛迭代序列发散.谱半径mH，A的分解矩阵D，U,L和方程组的精确解jX,迭代次数i和迭代序列X如下：i = mH = 99 14。1082D = 5 0 0 0 0 8 0 0 0 0 4 0 0 0 0 7U = 0 1 1 2 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0L = 0 0 0 0 2 0 0 0 -1 2 0 0 1 -3 2 0jX = X =1.0e+114 * 0。4491 0.3122 0.2096 1。0497 1.4850 3。7174 0。0299 3。9615