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浅谈用“向量法”解决解析几何、立体几何、三角、平面几何问题
北京市延庆县教科研中心　吴喜儒　苑东合
一、向量的地位、作用分析
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着丰富的实际背景。在高中阶段,学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表示和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
象数一样,向量是可以“算”的，从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃.向量的加法、减法运算的特征是两个向量通过加法、减法运算得到第三个向量,也满足结合律，有零元,，所以向量的加法、减法运算是属于型的代数运算；向量的数乘运算的特征是一个数与一个向量通过数乘运算得到一个向量,它满足一系列运算规则，例如，结合律：，分配率：，等。所以，数与向量的数乘也是一种运算，是属于型的代数运算；向量的数量积的特征是两个向量通过数量及运算得到一个数，同样,它也满足一系列的运算规则，例如，分配率： ，等,所以向量的数量积也是一种运算,是属于型的代数运算.向量的运算不同于数的运算，它涵盖了三种类型的代数运算.与数的运算相比，向量的运算扩充了运算对象。向量运算更加清晰地展示了三种类型的代数运算的特征以及代数运算的功能，同时，向量运算具有与代数运算不同的一些运算规律，这对于学生进一步理解其他数学运算、增强学生的运算能力具有基础作用。因此，从数的运算到向量运算，是学生数学学习的又一次质变，学生对运算的理解也会更上一层楼。
向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁。《标准》将向量与三角函数设计在一个模块中，主要是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系，体现向量在处理三角函数问题中的工具作用。《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式等。二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式等.这个过程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式之间的内在联系。
二、用“向量法"解决解析几何问题举例
例1 用“向量法”判断两条直线的位置关系
直线
直线
直线的方向向量为，法向量为；
直线的方向向量为，法向量为；与的夹角为。
则有：

或与重合；
；
.
例2用“向量法”推导解析几何中的基本公式
1.两点的距离公式：
已知两点,求
解：。
2.中点坐标公式：
已知两点,是线段的中点，求点的坐标.
解：因为是线段的中点，所以，
即
解得:.
3。点到直线的距离公式：
已知点 和直线，求点到直线的距离.
解:通过点作直线,并且与直线垂直，设垂足为.则问题可转化为求和两点之间的距离问题.
如图，直线的一个法向量为，设点为直线上的任意一点,则有

（1）
向量在向量方向上的射影为向量，设点到直线的距离为，则.设向量与向量的夹角为,
则
而
所以，。
4.求线段的中垂线所在直线的方程
已知两点，求线段的中垂线所在直线的方程.
解：线段的中点坐标为,向量，
则与向量垂直的一个向量,
即的一个方向向量为，设上任意一点为，
则，
由得： .
 整理得:
运用“向量法”解决解析几何问题,过程简捷,思路清晰，避免了“解析法”中因为直线斜率是否存在产生的分类讨论。
三、用“向量法”解决三角问题举例
1。用“向量法”推导两角差的余弦公式
已知角，证明：。
证明：以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角,它们的终边分别与单位圆相交于点，则

.
因此存在使得或成立.
因为     

所以。
2。 用“向量法"推导正弦定理
已知在中，角的对边分别是。求证:.
证明:（1）当为直角三角形时，不妨设角，
则有：,即
。
由直角三角形探索用“向量法”证明正弦定理，如图，设与平行且同向的单位向量为，则，与的夹角为，与的夹角为.

，为了与三角形中的量建立联系在等式的两边同乘以得：
，整理得
（2）当为锐角三角形时,
过点作单位向量垂直于，则与的夹角为，与的夹角为.

。与（1)比较，为了与三角形中的量建立联系在等式的两边同乘以得到,即

，同理可得.
.
（3) 当为钝角三角形时,与（2）类似可证。
所以在任意三角形中，角的对边分别是。
 都有成立.
3。 用“向量法”推导余弦定理
已知在中，角的对边分别是。

求证：,

证明：如图,，为了得到等式两边同乘以，

即           
同理可证：；。
四、用“向量法”解决立体几何问题举例
空间向量与平面向量没有本质区别,都是表示具有大小和方向的量，它的运算：加法、减法、数乘、数量积也完全相同。因此，利用空间向量解决立体几何问题，也是先利用向量表示空间的点、直线、平面等元素,建立立体几何与空间向量的联系；进行空间向量的运算；作出结果的几何解释，继而得出几何结论.
1.用“向量法"判断直线与平面的关系
如图，设直线的方向向量是，平面的法向量，则：或
与不垂直

2. 用“向量法”求平面的斜线与平面所成的角的大小
已知直线是平面的一条斜线，是直线在内的射影，则与所夹的角即为斜线与平面所成的角,设为.
如图，设直线的方向向量是，平面的法向量.
当为锐角时，，；
当为钝角时，，。
总之,。
若向量，均为单位向量，
则。

3. 用“向量法”求二面角的大小
利用空间向量法求二面角的大小,可以有两种方法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直的向量,则这两个向量的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为,则二面角的大小等于(或）.
4。 用“向量法”求点到平面的距离
在空间直角坐标系中，已知平面外一点，平面的法向量,求点到平面的距离.
解：如图，设点为平面内的已知一点，则向量在向量方向的射影的长度就是点到平面的距离,记为.

所以，。
将和代入上式
即可求得点到平面的距离.
五、用“向量法”解决平面几何问题举例
《课标》要求：体会平面向量在平面几何中的作用，初步学会用向量的方法解决简单的平面几何问题.
例1 如图，在平行四边形中，若且，求及.

解:设，。
，，
，

.同理可求的。
例2如图，在□中,点是对角线上的两点，且．求证：．

证明：设，基底.
则

，.
主要是平面向量基本定理这一向量核心内容的应用，向量的自由平移给几何证明带来了优势。
用向量方法解决平面几何问题的基本步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系;把运算结果“翻译"成几何关系.
总之，向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一,它既是几何对象也是代数对象，因而成为数形结合的桥梁,成为沟通代数、几何、三角的得力工具。向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质,可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化。正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用。