课时达标检测(六)函数单调性与最值.doc

课时达标检测（六） 函数的单调性与最值
[练基础小题——强化运算能力]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
解析：选A　函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．
2．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则(　　)
A．a＝－2 B．a＝2
C．a≤－2 D．a≥2
解析：选C　二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－≥1，即a≤－2.
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B　y＝|x|(1－x)＝
＝
画出函数的大致图象，如图所示．由图易知函数在上单调递增，故选B.
4．函数f(x)＝在[－6，－2]上的最大值是________；最小值是________．
解析：因为f(x)＝在[－6，－2]上是减函数，故当x＝－6时，f(x)取最大值－.当x＝－2时，f(x)取最小值－.
答案：－　－
5．已知f(x)＝的值域为R，那么a的取值范围是________．
解析：要使函数f(x)的值域为R，需使
∴∴－1≤a<，即a的取值范围是.
答案：
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
解析：选B　①y＝x在(0,1)上递增；②∵t＝x＋1在(0,1)上递增，且0<<1，故y＝log(x＋1)在(0,1)上递减；③结合图象(图略)可知y＝|x－1|在(0,1)上递减；④∵u＝x＋1在(0,1)上递增，且2>1，故y＝2x＋1在(0,1)上递增．故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
2．定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则(　　)
A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
解析：选A　依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数得f(－1)<f(1)＝f(3)．
3．函数y＝2x2－3x＋1的单调递增区间为(　　)
A．(1，＋∞) B.
C. D.
解析：选B　令u＝2x2－3x＋1＝22－.因为u＝22－在上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．所以y＝2x2－3x＋1在上单调递增，即该函数的单调递增区间为.
4．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选C　当x＝1时，loga1＝0，若f(x)为R上的减函数，则(3a－1)x＋4a>0在x<1时恒成立，
令g(x)＝(3a－1)x＋4a，则必有
即解得≤a＜.
此时，logax是减函数，符合题意．
5．(2017·九江模拟)已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：选B　∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，∴当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)<0，f(x2)>0.
6．(2017·日照模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]
C．(0,1) D．(0,1]
解析：选D　∵f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，∴a≤1，又∵g(x)＝在[1,2]上是减函数，∴a>0，∴0<a≤1.
二、填空题
7．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
解析：由已知可得解得－3<a<－1或a>3.所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)
8．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝
函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0,1)．
答案：[0,1)
9．已知函数f(x)＝则f(x)的最小值是________．
解析：当x≥1时，x＋－3≥2 －3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)min＝2－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)＝0，此时f(x)min＝0.所以f(x)的最小值为2－3.
答案：2－3
10．(2017·豫南名校联考)已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的图象的草图如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a<2a－x，即x<在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1<，即a<－2.
答案：(－∞，－2)
三、解答题
11．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．
12．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解：f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)＝f(0)＝；当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)＝f(1)＝a；当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.∴g(a)＝∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a＝1时，有a＝＝1，
∴当a＝1时，g(a)取最大值1.