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复变函数与积分变换试题

本试题分两部分，第一部分为选择题，1页至3页，第二部分为非选择题，4页至8页，共8页；选择题40分，非选择题60分，满分100分，考试时间150分钟。
第一部分 选择题
一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1． 复数的辐角为（　　）
A． arctan B．-arctan C．π-arctan 　D．π+arctan
2．方程所表示的平面曲线为（　　）
A． 圆 B．直线 C．椭圆 　D．双曲线
3．复数的三角表示式为（　　）
A． B．
C． D．
4．设z=cosi，则（　　）
A．Imz=0 B．Rez=π C．|z|=0 　D．argz=π
5．复数对应的点在（　　）
A．第一象限　　　　　B．第二象限　　　 C．第三象限　　　 D．第四象限　
6．设w=Ln(1-I),则Imw等于（　　）
A． B．
C． D．
7．函数把Z平面上的扇形区域：映射成W平面上的区域（　　）　
A．　　　　　　　　B．
C．　　　　　　　　D．
8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分等于（　　）
A． B． C． D．　　
9．设C为正向圆周｜z+1|=2,n为正整数，则积分等于（　　）
A． 1　　　　　　　B．2πi　　　　　　　C．0　　　　　　　 D．
10．设C为正向圆周|z|=1，则积分等于（　　）
A．0　　　　　　　　B．2πi 　　　　　 C．2π　　　　　 D．－2π
11．设函数f(z)=，则f（z）等于（　　）
A． B． C． D．
12．设积分路线C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则等于（　　）
A． 　　　　　 B．　　　　　　C．　　　　　D．
13．幂级数的收敛区域为（　　）
A．　　　B．　　　　　C．　　　D．
14．是函数f(z)=的（　　）
A． 一阶极点　　　　B．可去奇点　　　　　C．一阶零点　　　　D．本性奇点
15．z=-1是函数的（　　）
A． 3阶极点　　　　B．4阶极点　　　　　　C．5阶极点　　　　D．6阶极点
16．幂极数的收敛半径为（　　）
A． 0　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　D．＋
17．设Q（z）在点z=0处解析，,则Res[f(z),0]等于（　　）
A． Q（0）　　　　B．－Q（0）　　　　　　　C．Q′（0）　　　D．－Q′（0）
18．下列积分中，积分值不为零的是（　　）
A．
B．
C．
D．
19．映射下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（　　）
A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．
20．下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部|w|<1的为（　　）
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
第二部分　非选择题
（共60分）
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共30分）
不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。
21．复数i的模|z|＝_____________________。
22．设，则Imz＝______________________。
23．设z=，则argz＝____________________________。
24．f（z）的可导处为_______________________________。
25．方程Inz=的解为_________________________。
26．设C为正向圆周|z|=1，则=___________________________。
27．设C为正向圆周|z－i|=,则积分=___________________。
28．设C为正向圆周|ζ |=2，，其中|z|<2，则f′(1)=___________________。
29．幂极数的收敛半径为________________________。
30．函数f(z)=在点z=0处的留数为__________________。
三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
31．求的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。

32．计算积分的值，其中C为正向圆周|z|=2。

33．试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。

34．计算积分的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。

四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）
35．利用留数求积分的值。

36．设Z平面上的区域为，试求下列保角映射
（1）把D映射成W1平面上的角形域；
（2）把D1映射成W2平面上的第一象限;
（3）w=f3(w2)把D2映射成W平面的上半平面：Imw>0;
（4）w=f(z)把D映射成G。

37．积分变换
（1）设,a是一个实数，证明
（2）利用拉氏变换解常微分方程初值问题：

复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)
1．B　　2．D　　3．C　　4．A　　5．A　　6．B　　7．A　　8．D　　9．C　　10．A
11．D　 12．C　13．B　14．B　 15．C 16．D 17．B 18．D 19．A 20．C
二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）
21.8 　　　　22．0　　　　　23．1　　　　24．z=0　　　　25．或　　　
26．4πi　　 27．－2π(π+i) 28．或 29．E 30．6
三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
31．解1：，
　　　　　由C－R条件，有，
　　　　　。　　　　　　（2分）
　　　　　再由，
得，于是，
　　　　。　　　　　　　　　　　　　　　（4分）
　　　　　由得。　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　故　　　 （5分）
　　　解2：
（2分）
(4分)
以下同解1。
32．解1： (3分)
　　　　　　　　　 。　　　　　　　（5分）
解2： (3分)
　　　　　　　　　　　　。　　　　　　 （5分）
33．解：因为，（2分）
　　　　所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得
(5分)
34．解：因在C内有二阶级点z=I，所以
　　　　 （2分）

。　　　　　　　　　　　　　　（5分）
四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考《积分变换》者做37题，其他考生做36题，两题都做者按37题给分。每题10分，共20分）
35．解：在上半平面内，有一阶极点z=i和z=3i。　　（2分）
（4分）
　　　，　　　　　　　　（6分）
　　　，
　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　（9分）
。　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （10分）
36．解：（1）由解得交点z1+1,z2=-1。　　　　　　　　　　　（2分）
设，则它把D映射成W1平面上的 （4分）
（2）设，则它把D1映射成　　　　　　　
　　 W2平面上的第一象限。　　　　　　　 （6分）
（3）设，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw>0。　　（8分）
（4）。　　　　　　　　　　　（10分）

(Z)
1
-1
0
-i
i

(W1)

0
(W)
0
(W2)
0

37．解：（1） （2分）
　　　　　　　　　　　　　　　　 （3分）
　　　　　　　　　　　　　　　　。　　　　　　　　（5分）
（2）设F(p)=[(y(t))，对方程两边取拉氏变换，有
　　　p2F(p)+1-2Pf(p)+F(p)=，　　　　　　　　　　　　　　　（7分）
　　　从中解得
　　　。　　　　　　　　　　　　 （8分）
　　　再求拉氏逆变换，得
　　　 （9分）
　　　　　=1-et (10分)
或利用卷积定理得到
　　　－＝－1*et （9分）
=1- et (10分)
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