选修-课时分层训练6.doc

课时分层训练(六十七)　坐标系
1．在极坐标系中，求点到直线ρsin＝1的距离．
[解]　点化为直角坐标为(，1)，3分
直线ρsin＝1化为ρ＝1，
得y－x＝1，
即直线的方程为x－y＋2＝0，6分
故点(，1)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝1.10分
2．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.
【导学号：31222438】
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，2分
圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，
即x2＋y2－x－y＝0，4分
直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.6分
(2)由得8分
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.10分
3．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1. 【导学号：31222439】
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求直线l被圆C所截得的弦长．
[解]　(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，2分
OA＝ODcos或OA＝ODcos，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.4分
(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，6分
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，
∴直线l过圆C的圆心，8分
故直线被圆所截得的弦长为直径2.10分
4．(2017·南京调研)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且＝2，求动点P的轨迹方程．
[解]　(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点．
在△OCM中，∠COM＝，由余弦定理得
|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|cos，
化简得ρ＝6cos .4分
(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，
由＝2，得＝，
∴ρ1＝ρ，θ1＝θ，8分
代入圆C的方程，得ρ＝6cos，
即ρ＝9cos.10分
5．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
[解]　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，2分
联立
解得或
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.4分
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α).8分
所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.
当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.10分
6．从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，求|RP|的最小值．
[解]　(1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.2分
∵ρ0cos θ＝4，
∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程.4分
(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，
得x2＋y2＝3x，
即2＋y2＝2.8分
知点P的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
直线l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.10分