不同参数下的庞加莱晶体性质比较.pdf

第 47 卷第 1 期浙江师范大学学报(自然科学版)Vol.47,No.12024 年 2 月 Journal of Zhejiang Normal University(Nat.Sci.)Feb.2024DOI:10.16218/j.issn.1001-5051.2024.002不同参数下的庞加莱晶体性质比较王能正,王 沛(浙江师范大学 物理与电子信息工程学院,浙江 金华 321004)摘 要:洛伦兹对称性作为相对论中的基本时空变换,在凝聚态物理中却鲜有应用.为了研究具备洛伦兹对称性的庞加莱晶体理论,构造了不同参数下的庞加莱晶体模型,通过离散庞加莱对称群的幺正表示和多体理论,计算了它们的色散关系、Floquet 有效哈密顿量及推迟格林函数.结果发现,在不同参数下,色散关系一致表现出不规则锯齿形状,有效哈密顿量存在着周期性的长程跃迁,传播子表现出回声结晶化现象.该发现加深了对庞加莱晶体性质的理解.关键词:离散洛伦兹对称;洛伦兹不变性;有效哈密顿量;庞加莱晶体;回声结晶化中图分类号:O469 文献标识码:A 文章编号:1001-5051(2024)01-0029-07Comparison of the properties of Poincar crystals with different parametersWANG Nengzheng,WANG Pei(College of Physics and Electronic Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua 321004,China)Abstract:Lorentz symmetry,as a fundamental spacetime transformation in relativity theory,had rarely been applied in condensed matter physics.In order to study the theory of Poincar crystals with Lorentz symmetry,it was constructed a model of Poincar crystals with different parameters.It was then proceeded to calculate their dispersion relations,Floquet effective Hamiltonian,and delayed Greens function by means of the Miss-ing square representation of discrete Poincar symmetry group and many-body theory.It was found that the dispersion relation consistently exhibited irregular sawtooth shape,the effective Hamiltonian had periodic long-range jumps,and the propagator exhibited echogenic crystallization under different parameters.These findings would deepen the understanding of the properties of Poincar crystal.Key words:discrete Lorentz symmetry;Lorentz invariance;effective Hamiltonian;Poincar crystal;echo crystallizati0 引 言超冷原子气体1是量子模拟的重要平台,可被用来模拟一些难以在固体材料中实现的多体模型.利用光晶格技术2-3可以在冷原子平台上实现人造晶体,引入随时间周期变化的势场还能够实现格点之间的次近邻跃迁、次次近邻跃迁等,从而制造出具有非平凡拓扑性质的能带模型.利用 Floquet 工程虽然 收文日期:2023-03-22;修订日期:2023-06-06 基金项目:国家自然科学基金资助项目(11774315)作者简介:王能正(1996),男,浙江温州人,硕士研究生.研究方向:凝聚态物理.通信作者:王 沛.E-mail:WangPei 可以有效模拟格点之间的短程跃迁,但模拟长程跃迁仍然较为困难.理论和实验技术的发展为解决这一问题提供了思路,光晶格中的数字微镜4-5或亚波长技术6-8能够在单格点尺度上调节势场形状,从而实现势能函数的可编程性.在这一技术的基础上,二次型量子傅里叶变换(quadratic quantum Fourier translation,QQFT)协议利用哈密顿矩阵在动量空间的对角性,提出了通过傅里叶变换来模拟不规则长程跃迁的方案.QQFT 拓展了冷原子平台的模拟范围,令长程跃迁模型的实验实现成为可能.庞加莱晶体9是一类具有不规则长程跃迁的模型,该模型源自量子力学中对称原理的应用.探索具有新奇对称性的模型是物理学长期以来的目标.100 多年前,晶体的离散空间平移对称性成为布洛赫能带理论的基础;近年来,时间晶体10-11、Floquet 拓扑绝缘体12-13等理论把离散平移对称的应用从空间拓展到了时间领域;最近,研究者进一步提出时空晶体14的概念,1+d 维时空内的时空晶体具有 d+1 个相互独立的离散平移对称轴,时空晶体这一概念不但丰富了人们对晶体对称性的认识,也对新对称群下的拓扑物态分类提出了挑战.另一方面,洛伦兹对称也是一种时空对称,其对称操作会把时空坐标混杂在一起.洛伦兹对称性是量子场论、标准模型的基础,但它在凝聚态物理中却鲜有应用,原因之一在于洛伦兹变换的长度收缩效应会改变晶格常数,从而与晶体的离散平移对称性相抵触.但是,最近的研究表明,如果时间与空间同时具有离散平移对称性,那么洛伦兹变换有可能维持晶格常数不变,在这一基础上,具有洛伦兹对称性的时空晶体模型被构造出来,即庞加莱晶体.理论研究表明,利用 QQFT 协议可以实现庞加莱晶体,并且其实现方案具有一定的抗噪声能力15.庞加莱晶体具有多个可调节参数,包括洛伦兹变换的特征元、晶体尺寸等.到目前为止,并无解析方法判断一个时空晶体模型是否具有洛伦兹对称性,相反,只能通过数值方法逐个构造模型来寻找可能的庞加莱晶体.之前的研究列举了所有特征元等于 2 同时格点数小于 100 的 1+1 维庞加莱晶体,发现在这些模型中粒子波函数的传播表现出规则的回声结晶化性质,这与一般晶体中波函数的传播性质完全不同.在这一背景下,本文系统研究了不同参数下的庞加莱晶体模型,发现这些模型都一致表现出回声结晶化性质,说明该性质受到洛伦兹对称性保护.笔者的研究加深了对庞加莱晶体性质的理解.1 庞加莱晶体理论简介本文考虑的是 1+1 维时空,并假定空间方向上的晶格常数是 a.利用群理论可以证明,如果对称群在包含空间平移操作的同时还含有至少 1 个洛伦兹变换,那么其全部群元必然可以表示为 P=P j,m,n()j,m,n=0,1,2,其中,P 是一个复合时空变换,由洛伦兹变换 Lj和时空平移S(m,n)构成.全部时空平移操作构成一个时空晶格,已知仅存在 2 种时空晶格能够和洛伦兹变换相容,分别是长方格子及中心长方格子.本文仅考虑长方格子,并用 T 表示其时间方向上的晶格常数.任意一个洛伦兹变换矩阵都是基础矩阵 L 的整数次方,因此,所有的洛伦兹变换中的速度常数只能取c=2-1a/T,这里=2,3,被称作洛伦兹变换特征元.为了方便起见,接下来取 T=a=1 分别作为时间和长度的单位,这样一来,复合变换 P(j,m,n)对时空坐标(t,x)T的操作可以表示成12-1()jtx()+mn().(1)对称群 P 是一个离散庞加莱群,它是量子场论中的庞加莱群的子群.这里需注意的是:式(1)中的洛伦兹变换矩阵是在笔者选择的 T,a,c 的表达式下给出的,因此,其形式和选择光速 c=1 情况下的对称矩阵不同,但其本质都是洛伦兹变换.另外,式(1)给出的变换P(j,m,n)具有不变性,这一点可从下述性质看出:首先,P(j,m,n)是庞加莱变换的一种特殊情形,因此,庞加莱变换具有的不变性 P(j,m,n)都具有;其次,若 t,x 取整数,则变换后的 t,x也必然取整数,反之也成立,这说明晶格本身在 P(j,m,n)变换下保持不变;最后,取 2 个不同的 P 变换做乘积,易知结果也是一个 P 变换,因此,P 变换本身满足对称群的乘法闭合性.根据量子力学的对称原理,每个具有 P 对称性的量子理论都是 P 的一个幺正表示,构造庞加莱晶03浙江师范大学学报(自然科学版)第 47 卷体模型等价于构造 P 的幺正表示,换句话说,这需要找到每个群元 P(j,m,n)对应的幺正算符U(j,m,n),并要求这些算符满足和群元一致的乘法规则.这可以从单粒子希尔伯特空间开始,通过考察每个群元对应的幺正算符作用于单粒子波函数的结果,就能确定这些算符.之前的研究表明,P 存在幺正表示的充分必要条件是:单粒子色散关系在洛伦兹变换 L 下保持不变,在幺正算符下可表示为U(j,0,0)U(0,m,n)=U(0,m,n)U(j,0,0).(2)将式(2)作用于准动量能量空间|E,k可得到U(j,0,0)e-inak+imTEE,k=U(0,m,n)E,k,e-inak+imTEE,k=e-inak+imTEE,k.(3)上列等式可转为这样一个色散关系,2l+mTE-nak=mTE-nak.(4)即 kE(k)()=RLkE(k)().(5)值得注意的是,庞加莱晶体在时空 2 个方向上都没有连续平移对称性,因此,色散关系仅指准动量k 和准能量 E 之间的关系.为方便起见,选择合适的质量单位使得=1,并在空间和时间 2 个方向上都选择周期边界条件,具体来说,笔者考虑了一个长度为 Na 的庞加莱晶体,其在空间方向上拥有 N 个格点,因此,准动量可以表示成 k=2 k/(Na),这里 k=0,1,N-1 是一个整数.为了令波函数在经过时长 NT 的演化后自动复原,要求准能量 E=2 E/(Na),其中 E=0,1,N-1 也是一个整数.这样一来,色散关系等价于函数 E(k),色散关系的洛伦兹不变性表示成kE(k)()=LkE(k)()(mod N).(6)换句话说,色散关系可以看作 N 个整数对构成的集合k,E(),其洛伦兹不变性要求该集合在矩阵L 的作用下映射成自身.值得注意的是,虽然本文使用了色散关系这一术语,但实际上庞加莱晶体模型是有限 N 模型,并且函数 E(k)的形式依赖于 N 的值,不存在 N 的极限.事实上,洛伦兹不变的 E(k)是不连续、不规则的,与过去所熟悉的格点模型色散关系完全不同.另外,当说一个庞加莱晶体是单能带时,指每个 k 对应唯一一个准能量 E,在实空间内,这意味着每个元胞只包含 1 个格点,并且格点无内部自由度.通过引入场算符可以很方便地从单粒子空间扩展到多体Fock 空间.令ck和ck分别代表动量空间内的湮灭与产生算符(它们既可以是玻色子算符也可以是费米子算符),则庞加莱晶体的 Floquet 有效哈密顿量可以写成H=kckE(k)ck.(7)这意味着时长 T 的量子态演化算符是 U=e-iTH.同理,每个群元 P(j,m,n)对应的幺正算符都可用场算符方便地表示.利用傅里叶变换,把有效哈密顿量用实空间的场算符重新表示,则得到 H=j,nJnj+nj+h.c.,这里 j和 j分别代表格点 j 上的粒子产生(湮灭)算符,Jn表示距离 n 的跃迁系数.H不仅包含占位势和近邻跃迁项(J0,J1),也包含长程跃迁项(例如 JN/2),并且 Jn是一个不规则的函数.庞加莱晶体的传播子具有洛伦兹对称性,这一性质把它和普通晶体区分开来.为了更清楚地观察模型的离散庞加莱对称性,可以计算推迟格林函数 Gr,以此来验证它在时空演化下的洛伦兹不变性.假设在初13 第 1 期 王能正,等:不同参数下的庞加莱晶体性质比较始时刻,一个粒子被置于格点 j 上,经过时间 mT 后粒子处在格点 j+n,在此传播过程下,Gr可表示为Gr(m,n)=-i(m-0)j(0),j+n(m).(8)这里 j(t)表示时间演化下的场算符,自然定义为 t=mT 时,j(m)=eimTH je-imTH,同时对洛伦兹对称性要求:当(m,n)T=L(m,n)T时,有 Gr(m,n)=Gr(m,n).这是一个非平凡的要求,实际上,因为 L 会把时空坐标混杂起来,因此,洛伦兹对称性要求不同时刻的 Gr(mm)之间必须相等;另一方面,普通晶体只具有空间上的对称性(镜像、旋转等),这些空间对称性无法限制不同时刻的 Gr之间的关系.洛伦兹对称性对传播子有复杂的影响,之前对=2 情形的研究表明,当时间为 0NT 时,Gr表现出周期性的回声性质,其回声形成一个 L 对称的时空格子.接下来,笔者将研究 2 的情形,从而弄清结晶化回声是否是庞加莱晶体的普遍性质.2 高 值庞加莱晶体2.1=3 的色散关系之前的工作列举了 =2 的 1+1 维庞加莱晶体,在这里继续研究了一些高 值的情况,分别是=3,=4 及=5.首先考虑=3 的庞加莱晶体的理论性质,根据式(1)和式(6),=3 的单粒子色散关系的洛伦兹不变性可以表示成kE(k)()=3183()kE(k)()(mod N).(9)式(9)仅在 N 取某些特定值时有解.发现 50 以内合适的 N 值包括:N=2,4,6,7,8,12,14,16,17,18,23,24,28,31,32,34,36,41,42,46,47,48,49.对于大部分 N,洛伦兹不变色散关系不是唯一的,这里选择了N=18 这一晶体长度做出了相应的色散关系(E(k)-k)图像.其中=3 的色散关系 E(k)比=2 在长度为 18 的情况下的 6 组 E(k)有更多的选择.图 1(a)和图 1(b)为=3 时的 2 组色散关系 E(k),这里的色散关系集合满足 E(k)=2/T-E(2/a-k),可以看到色散关系图像呈现不规则的锯齿形状,与=2的色散关系形状不同9,锯齿形 E(k)相对于 k=/a 或 E=/T 不对称,但它在左右两边 1/4 处各自对称,即连续 2 次映射回 k=/a 和 E=/T.因此,它们总是成对出现(E(k)=E(2/a-k)和E(k)=2/T-E(k)都是洛伦兹不变量).图 1=3 的色散关系图(格点数 N=18)2.2=3 的 Floquet 有效哈密顿量接着研究 Floque 有效哈密顿量的相关性质.其中实空间哈密顿量可以写为H=j,nJnj+nj+h.c.(10)计算得到其中跃迁系数 Jn=1NkE(k)einak,它由色散关系决定,因此,由前面得到的色散关系集合23浙江师范大学学报(自然科学版)第 47 卷k,E(),可以绘制相应的跃迁系数 Jn函数,如图 2 所示.在 =3,N=18 的条件下,由图 2(a)和图 2(b)可以清楚地看到均匀间隔的尖锐峰形,Jn随 n 在 0 和-1 间交替变化,这意味着粒子可以在 Jn=-1 所对应距离为 n 的格点之间跳跃,它存在着长程的跳跃规则.图 2=3 的跃迁系数函数 Jn(格点数 N=18)2.3=3 的单粒子传播子性质在=2 条件下具有离散庞加莱对称的时空晶体表现出周期性的回声性质.接下来对于高 值模型的推迟格林函数 Gr进行相应的验证.在=3 的情况下,考虑初始时刻位于 n=0 格点处的单粒子,其推迟格林函数在时间和空间的演化下用 Gr(m,n)表示,其中 m 表示时间(周期 T 为单位),n 表示空间位置(或格点数),并且 m 和 n 都取整数.对称性质由矩阵 L 表征,它要求(m,n)T=L(m,n)T 时,有Gr(m,n)=Gr(m,n),其中,Gr(m,n)=-i1NN-1k=0ei2 kn-E(k)m/N.Gr就是庞加莱晶体中自由电子的传播子,该传播子和自由时空中电子的传播子不同,依赖于庞加莱晶体的具体色散关系.Gr是一个 N 项之和,一般情况下,它不存在一个简单的解析表达式,只能通过具体数值计算得到.这里笔者计算了 Gr2,如图 3 所示.图 3(a)表示系统尺寸 N=18 情形下的 Gr2图像,图 3(b)表示系统尺寸 N=32 的 Gr2图像.图 3(a)中颜色相同的方块对应的值相等,可以发现,颜色相同的方块对应的时空点集合是洛伦兹不变的,它满足洛伦兹对称矩阵 L 的映射.而图 3(b)清晰呈现一列列的周期条纹,对于一个给定的时刻 m,Gr2在多个位置上是非零的,这意味着粒子在演化后的一段时间内会出现在数个不同位置,而每经过 8 个周期,粒子重新出现在原点,而其他格点上的推迟格林函数变为零.总体来说,2 幅图的 Gr2整体呈现出一个周期性的坍缩和复原模式,这是遵循洛伦兹对称性的.(a)系统尺寸为 18 的Gr2图像 (b)系统尺寸为 32 的Gr2图像 图3 不同时空点下的推迟格林函数 Gr(m,n)(颜色指标为 Gr2,即 mT 时在晶格点 n 找到粒子的概率)33 第 1 期 王能正,等:不同参数下的庞加莱晶体性质比较2.4=4,5 的庞加莱晶体相应研究=4,=5 的庞加莱晶体.首先考虑二者的单粒子色散关系,其中满足离散洛伦兹不变性在 N50 的参数下还是存在多组的选择,且随着 增大,选择更多.相应地绘制 N=18 的色散关系集合k,E()(见图4).图4(a)是=4 的色散关系图像,图4(b)是=5 的色散关系图像,同样它们的锯齿形 E(k)也关于 k=/a 和 E=/T 对称.接着研究它们的 Floquet 有效哈密顿量的相关性质,图 5(a)表示=4 的情况下跃迁系数 Jn,图 5(b)则表示=5 的 Jn.由图 5(a)可以看到跃迁函数 Jn在 n=3,6,9时有值,这说明粒子可以在格点距离 n=3,6,9 中发生跳跃.而图 5(b)可以说明粒子可以在格点距离n=1,3,5,7 中发生跳跃.因此,说明实空间下庞加莱晶体有着不规则的长程跳变,同时注意到由于周期边界条件,跃迁函数图像存在中间对称.(a)=4,N=18 (b)=5,N=18 图 4 洛伦兹不变性的色散关系图(a)=4,N=18 (b)=5,N=18 图 5 跃迁系数函数 Jn同理,计算相应的 Gr2,观察单粒子在时空中的传播情况,如图 6 所示.图 6(a)表示=4 模型在格点数 N=33 的 Gr2图像,图 6(b)表示=5 模型在格点数 N=32 的 Gr2图像.由图 6(a)可知,粒子在 m=0 时从 n=0 开始,经过一整个演化周期后从一个点跳到另一个点,波包保持局部为 t(等于 T 的整数倍)的状态.这与=2 的相同尺寸的情况类似.图 6(b)中,每经过 16 个周期后,Gr2重新组合成原始位置状态,如图中黄点再次出现在 m=16 处相应位置,这与=3 的相同尺寸的情况类似.=4 和=5 的共同点在于传播过程中只在特定的时空晶格上不为零,且 Gr2也呈现出一个周期性的坍缩和复原模式,它满足洛伦兹对称.由此,周期性的回声性质是不同参数下的庞加莱晶体的普遍性质.3 总 结在本文中,首先简要回顾了一维晶格上具有离散庞加莱对称性的量子理论.离散庞加莱 P 包含离散洛伦兹变换和离散时空平移,后者在 t-x 平面上形成 Bravais 晶格.P 的元素用幺正算子表示.平移的共同特43浙江师范大学学报(自然科学版)第 47 卷征态被定义为具有确定的准动量 k 和准能量 E 的单粒子态.群的乘法定律决定了 E 和 k 如何在离散的洛伦兹推动下变换,得到色散关系 E(k).根据多体理论推出有效哈密顿函数 H,H 依赖于 E(k).通过计算推迟格林函数对洛伦兹不变性进行检验,它表示庞加莱晶体在不同位置和时间之间的相关性.(a)在=4 下系统尺寸为 33 的Gr2图像 (b)在=5 下系统尺寸为 32 的Gr2图像 图6 不同时空点下的推迟格林函数 Gr(m,n)(颜色指标为 Gr2,即 mT 时在晶格点 n 找到粒子的概率)本文继续研究了不同特征元下(=3,4,5)的庞加莱晶体模型,发现这些模型存在锯齿色散关系E(k),且都一致表现出关于 k=/a 或 E=/T 的反射对称性.其 Floquet 有效哈密顿量 H 为了保持洛伦兹对称性,通常存在长距离跳变,跃迁强度随点间距离的变化而波动.离散的洛伦兹对称在 Gr2中表现出来,它在(m,n)中取相同的值,在洛伦兹变换下相互映射,粒子能像孤子一样传播,表现出周期性的回声结晶化性质.同时我们发现奇偶对应下的 值,Gr2呈现出类似的模式,而且随着 的增大,有限N 值的数量可能会增多.参考文献:1BLOCH I,DALIBARD J,NASCIMBENE S.Quantum simulations with ultracold quantum gasesJ.Nat Phys,2012,8(4):267-276.2GROSS C,BLOCH I.Quantum simulations with ultracold atoms in optical latticesJ.Science,2017,357(6355):995-1001.3LEWENSTEIN M,SANPERA A,AHUFINGER V,et al.Ultracold atomic gases in optical lattices:mimicking condensed matter physics and be-yondJ.Adv Phys,2007,56(2):243-379.4HA L C,CLARK L W,PARKER C V,et al.Roton-maxon excitation spectrum of bose condensates in a shaken optical latticeJ.Phys Rev Lett,2015,114(5):055301.5GAUTHIER G,LENTON I,PARRY N M,et al.Direct imaging of a digital-micromirror device for configurable microscopic optical potentialsJ.Optica,2016,3(10):1136-1143.6YI W,DALEY A,PUPILLO G,et al.State-dependent,addressable subwavelength lattices with cold atomsJ.New J Phys,2008,10(7):073015.7LACKI M,ZOLLER P,BARANOV M.Stroboscopic painting of optical potentials for atoms with subwavelength resolutionJ.Phys Rev A,2019,100(3):033610.8ASTERIA L,ZAHN H 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