初高数学衔接第一讲数与式的运算.doc

第一讲 数与式的运算
在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．

一、乘法公式
【公式1】
证明：

等式成立
【例1】计算：
解：原式=

说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．
【公式2】(立方和公式)
证明:
说明:请同学用文字语言表述公式2.
【例2】计算：
解：原式=
我们得到：
【公式3】(立方差公式)
请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．
【例3】计算：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=

说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．
（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．
【例4】已知，求的值．
解：
原式=
说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．
【例5】已知，求的值．
解：
原式=
①

②，把②代入①得原式=
说明：注意字母的整体代换技巧的应用．
引申：同学可以探求并证明：

二、根式
式子叫做二次根式，其性质如下：
(1) (2)
(3) (4)
【例6】化简下列各式：
(1) (2)
解：(1) 原式=
(2) 原式=
说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．
【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：
(1) (2) (3)
解：(1) 原式=
(2) 原式=
(3) 原式=
说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母(如)．这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中与叫做互为有理化因式)．
【例8】计算：
(1) (2)
解：(1) 原式=
(2) 原式=

说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．
【例9】设，求的值．
解：
原式=
说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

三、分式
当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．
【例10】化简
解法一：原式=
解法一：原式=
说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．
【例11】化简
解：原式=

说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式．

练 习

A 组

1．二次根式成立的条件是( )
A． B． C． D．是任意实数
2．若，则的值是( )
A．－３ B．３ C．－９ D．９
3．计算：
(1) (2)
(3) (4)
4．化简(下列的取值范围均使根式有意义)：
(1) (2)
(3) (4)
5．化简：
(1) (2)

B 组
1．若，则的值为( )：
A． B． C． D．
2．计算：
(1) (2)
3．设，求代数式的值．
4．当，求的值．
5．设、为实数，且，求的值．
6．已知，求代数式的值．
7．设，求的值．
8．展开
9．计算
10．计算
11．化简或计算：
(1)
(2)
(3)
(4)

第一讲 习题答案
A组
1． C 2． A
3． (1) (2)
(3) (4)
4．
5．
B组
1． D 2． 3．
4． 5． 6． 3 7．
8．
9．
10．
11．

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