浅谈数学基础课程与数学物理方法课程的衔接.doc
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1、浅谈数学基础课程与数学物理方法课程的衔接杨明东南大学数学系, 南京 210096。Email: mathyangming.摘要:作者在本文中对数学物理方法中的一些知识点与数学基础课中知识点的联系做了探讨。主要目的是通过这些研究,合理地安排好这些课程中的教学内容,让它们在不同课程中衔接好,达到帮助学生理解和掌握的目的.关键字:高等数学,线性代数,数学物理方法,教学内容与方法。1. 介绍数学物理方法课是工科电类本科专业的重要课程,也被认为是一门难度较大的课程。因为在这门课程中,学生需要综合应用数学基础课程(高等数学,线性代数)的知识去解决新的问题,同时也会接触到现代数学中的一些抽象的基本概念,从而
2、为进一步学习先进数学工具打下坚实的基础.我们在教学研究中发现,数学物理方法中的知识点其实在数学基础课中都有体现,如果能衔接好数学基础课与数学物理方法中的知识点,将能较好地让学生理解并掌握这门课程中的思想和方法。本文中,我们从具体的教学内容出发,来说明我们的教学方法.2. 教学案例: (1) 线性非齐次常微分方程在高等数学中,对于线性非齐次常微分方程的求解方法,重点是介绍了常数变异法和待定函数法,参见文献1,对积分因子方法(凑导数)和齐次化原理的介绍很少,而后两者却是推导非齐次问题解的表达式的常用方法。积分因子方法一般用来处理一阶方程,而齐次化原理对高阶方程也是有效的,而且偏微分方程的齐次化原理
3、和常微分方程的齐次化原理也是相通的。因此理解和熟练应用常微分方程的积分因子方法和齐次化原理具有重要意义.下面我们来简单地叙述和推导下一阶线性常微分方程的积分因子方法和齐次化原理。考虑下面的问题:(i) 积分因子法(凑导数)其中被称为积分因子。(ii) 齐次化原理先做线性拆分,将原来问题分成两个问题,一个初值为,一个非齐次项为,即其中齐次方程用分离变量法可解出,。下面来考虑问题。为此我们引入一个带参数的新问题:用分离变量法将该问题求出,,则直接验证可得上面的表达式即为所求,但验证时要用到含参变量的导数的求法,一般工科的高等数学中不做要求,需要教师补充,即。值得注意的是本方法可以推广导高阶线性常微
4、分方程和线性偏微分方程,请读者自行推导.(2) Gauss公式,第二Green公式以及位势方程的基本解在高等数学中,Gauss公式是要求重点掌握的内容,利用该公式来计算第二型曲面积分是学生比较熟悉的方法.向量形式的Gauss公式就是散度定理(divergence theorem):,其中是空间区域,是的单位外法向量.利用散度定理可以方便的推出第二Green公式,参见文献2,3,。第二Green公式是用Green函数法研究位势方程的重要工具.下面我们利用它来证明三维情况下,位势方程的基本解是:。这是一个重要的证明,是学生学会处理函数奇性的一个重要例子.证明需要综合运用在高等数学中的知识,证明等价
5、于证明全空间下的位势方程:, 的解为下面我们来推导一下.因为在原点有奇性且,所以我们将以原点为圆心半径为的小球挖去,并求极限。下面利用第二Green公式,将积分转化为球面上的积分,其中是球面的单位外法向量。再利用的表达式计算,并利用积分中值定理即得,这样,我们有故即是三维位势方程的基本解.(3)向量空间与函数空间在线性代数课程中,我们学习了向量的内积,下面我们把内积的概念推广到分段连续函数上.先来回顾一下维复向量的内积。维向量可以看成是定义在集合上的函数,它的分量是。所以它的内积和模就是:记区间上的分段连续函数的全体为。将函数看成是无穷维向量,它的分量是,在区间上。那么定义函数的内积和模,我们
6、只要简单地将上面的求和改为它在连续情况下的形式即积分:因为只改变函数在有限多个点的值,函数的积分不会改变。这就产生了一个问题,如果函数在上除了有限多个点外都是,则。这与模的要求不符,怎么解决呢?我们可以用等价类的观点来看待这个问题,即对于中的函数,我们可以简单认为如果两个函数仅在有限多个点处值不等(或者说这两个函数是几乎处处相等的),那么我们仍然认为它们是相等的.另外还有个问题就是并不是一个像欧氏空间那样的很好的无穷维空间,因为它并不完备,即中的柯西列的极限未必在中。我们需要将扩充成一个完备的空间,以包含一些具有高度奇性的函数。幸运的是,我们有一套Lebesgue积分理论,参见文献3,它可以处
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