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数形结合在中学数学解题中的应用

重庆兼善中学：数学组——周宇
摘要:数学中的两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素,“数”“形"
结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题方法,而应作为一种基本的、重要的数学思想来学习研究和掌握应用.数形结合能力的提高,有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文通过举例与分析论述数形结合在中学数学中的应用。
关键词：数；形；数形结合

The combination of number and form.in
middle school
College of mathematical and computer Guo Zhil Ming
Teacther Luo ping

Abstract The contradiction and unification of “form”and “number”,two of the basic research objects in mathematics ， are intrinsic for the development of mathematics 。combination of number and form motivates the evolution of mathematics.The combination should be studied and applied not only as one of the methods to solve problems but also a basic and important idea .Enhancing the combination ability promotes the understanding of the natures of mathematical problems and helps to build a solid mathematical foundation. Based on learnling ang teaching practices, measures are proposed to raise the combination ability.个人收集整理，勿做商业用途
Key words number； form；combination of number and form.
距离公式求得的，这就是以“形”助“数”的功用.
虽然本题也可以用代数的方法求解，但运算量显然大于本解法
本题的代数解法：
由 3x+4y-1=0得y=，把它代入:（x—1）+(y—2)=x得：
(x-1)+（y-2)
=x―2x+1+x+x+
=(x+)+4
所以x=﹣时 (x—1)+(y-2）的最小值为4。
例2 设x∈R，求函数f（x）=﹣的值域。:
Y
B
A
2
P
X
解 f（x）=﹣
=﹣
=―
A（）， B(）， P(x,0）,
｜f（x）| =| |PA|—｜PB｜ |<｜AB|=1，
所以f（x)∈(—1,1）。
点评 本例显著的特征是把式子理解为距离之差，从而巧妙的解决了问题.
O
Y
X
C
D
解法2 f(x）= ﹣
=
=
所以 将f（x)看作 两点的斜率 ，可得如下做法：
设C(x+)， D（x－)则f(x）=k
B
A
C
D
X
1
1
60o
60o
且CD两点都在等轴双曲线y 的上半支上，直线 必与双曲线的两条渐近线y=x,y=―x相交于上方。所以CD倾斜角的取值范围为{0, ｝（）所以f（x)=K∈(-1,1）
解法3 ==

所以与正弦定理联系可在三角形中解决问题有如下做法：
由于f(x)为奇函数且f(x)=0只需研究x>0时即可获得f（x）的值域，如图四边形ABCD中AB=x,∠BAD=60△ADC是边长为1的等边三角形。由余弦定理,得：BC=,BD=在△BCD中,由|BC—CD｜〈CD=1， ｜—|〈1所以f(x)∈(-1,1)
O
A
P
X
Y
-1
-1
|例3 函数y=的值域为（ ）
是一分式，能不能把它看
作两点连线的斜率呢？能，它实际上点P（）
与点A(—2，0)连线的斜率，由于x+2x=（x+1）-1≥-1所以点P()在射线y=x(x≥—1）上移动.因此问题变为:射线y=x（x≥—1）上的点与A(—2，0)点连线的斜率的取值范围是什摸？如图，显然当P移动到点B（—1，-1)（射线的端点）时AP的斜率最小，最小值为-1;P点越向斜上方移动AP的斜率越大，其值越来越接近于数值1（但不能取1）
所以AP斜率的取值范围是［-1,1］即函数的值域为［—1,1］
本例巧妙的利用了数形结合求了分式函数（分子分母都是二次的）的值域，把分式看作是两点连线的斜率,往往收到意想不到的效果,另外把看作是点M(x+2x+2，x+2x）与原点连线的斜率也可以解决问题。
2 函数图象的应用
函数的图象也是实现代数与图形联系的一个通道,很多函数方程不等式的问题应用数形结合,可对数学知识和问题加深认识，理解透彻，思路的获得也就容易了.
例4 方程㏒=sinx的实数根的个的个数是( )
O

1
Y
X
A 1 个 B 2个 C 3个 D 4个
用代数的方法求解该方程是很困难的,
因此考虑用数形结合法方程㏒=sinx的
解是函数y=㏒与y=sinx图象的交点的
横坐标。在同一坐标系里作出y=㏒与y=sinx
的图象，如图，不难看出，这两个图象有三个交点，所方程有三个解所以正确选项为C。
方程与函数是密切联系着的两个数学概念，方程的解是相应函数图象交点的横坐标,因此对一些解起来很困难的方程，用数形结合的方法求解是很重要的方法特别是判断方程解的个数(而不是求方程的具体解）时.
4
2
-2
O
Y
Y=4x+1
Y=x+2
Y=2x+4
2
X
例 5 对于每个实数x设f（x）是4x+1，x+2，—2x+4中的最小值，则f（x)最大值为（ )
4x+1，x+2，-2x+4中谁最小呢？这于x的取值有关,
在同一坐标系里作出函数y=4x+1,y=x+2,y=－2x+4的图象.
如图所示，可以很明显的看出;x为何值时4x+1最小;
x为何值时x+2最小；以及x为何值时-2x+4最小,
并由此得出f(x）的图象(不必列出分段函数f(x）的表达式），
易见f（x）的最大值是y=x+2与y=－2x+4交点的纵坐标。

解方程组 y=x+2
y=-2x+4 得y=
所以f（x）的最大值是。
借助函数的图象，不仅很好的理解了题意，
而且轻而易举的得出了f（x)的最大值.否则需要解不等式组的方程求得f（x）的分段表达式，并求出每段上的最大值，从中选出最大值，那将是很烦琐的，环节很多，出错的可能也大大增加。
例6求函数u=的最值由于等号右端根号内t是同次，故作简单换元m=无法转换出一元二次函数求极值。若平方处理式子将会复杂化，因此该问题用常规解法较复杂难解，注意到两根号同为t的根式，故可采用两步换元。
O
Y
X
4
解 令x=，y= 则x+2y=16
(0≤x≤4,0≤y≤2） 所给函数化为以
u为参数的直线y=－x+u它与椭圆x+2y=16
在第一象限的部分（包括端点)有公共点，如图
u=2相切于第一象限时u最大此时方程组： y=－x+u
x+2y=16
得 3x－4ux+2u－16=0解△=0， 得 u=2或 u=－2， 又直线在第一象限，故u=2
该题为一道用常规解法较难求解的题，但运用数形结合法则起到了事半功倍的效果运用了逻辑思维，计算与迁移能力以及化归与转化的思想。

三 以数助形在解题时的应用
一些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化。即用代数、三角、解析几何的方法去解决，解题方法变得容易寻找。这是因为某些几何问题，虽然图形较直观，但其已知条件和结论之间相距甚远，解题途径不易找到。特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。
例7如图⊙O的半径R=5,A（10、0）是圆外的x轴上的一点，AB是⊙O的切线,B是切点,求AB的长和B点的坐标。
O
D
B
A
Y
X
解:是切线,,
由勾股定理可得，AB=，
过B作轴于D在Rt中，
根据射影定理可得：

B
O
C
A
Y
X
例8 如图，A、B的坐标为 (-1，0)的外接圆与y轴交于D点的坐标，（2）过A作圆的切线AC交x轴于C，求C点的坐标？(1993年徐州重点高中招生试题）
解:（1）由A，B（-1,0)得CA=2，
OB=1,AB=由余弦定理得由得：
由：即
在中，由勾股定理得即：(2）设OC=x，则由切割线定理:在中，余弦定理：即
例9 已知ABCD为正方形，在BC边上任取一点E，连结AE，AF平分交CD于F。求证：AE=BE+DF。
分析,这个题的几何证法之一
分析，这个题的几何证法之一是可延长CB到H,使BH=DF，连结AH，再证明是等腰三角形，则可得AE=HE=BE+DE，然后这个题也可利用三角法来证明。
A
D
a
H
B
E
C
F

证明：（三角法）设正方形的边长为a，，则
DF=a·tga,BE=a·tg，

是可延长CB到H，使BH=DF，连结AH，再证明是等腰三角形，则可得AE=HE=BE+DE,然后这个题也可利用三角法来证明.
证明:（三角法）设正方形的边长为a，，则DF=a·tga，BE=a·tg，

四 数形结合法应注意的问题
用以形助数法解决问题，要注意说明图形的特征、有哪些重要的点（特殊点)、有些什摸性质 ,以及性质的来源等.
例10指出函数(m不为0）的单调区间并比较f（－）与f(－）的大小。
-2
Y
X
O
m
解 f（x)=（x+2)+m，f（x)的图象可由
幂函数y=x的图象沿x轴向左平移2个单
位,再沿y轴平移m个单位（向上向下视m
而定）得到如图。根据y=x的性质知f(x)的图象关于直线x=－2对称且(－∞，－2）在上递增，在（－2，－∞)上递减,又点（－,0)关于直线x=－2的对称点为(－4，0）故f(－）=f（－4）, 而－2<－4<－ f(－)> f（－）以形助数中所画出的图形或图象一不定期要与原题意等价，否则就不能正确表达题意,造成错解.
例11 求函数的最在值和最小值。
错解：函数表示定点（2，2）和单位圆上的动点（cosx,sinx）连接的斜率，当直线y=k（x—2）+2与单位圆相切时，取得最在值和最小值(如图2），由，得。
，.
分析:上述解答中忽视了条件,将半单位圆当作单位圆了，所画的图形与原题意不等价，事实上，y表示点（2，2)与半单位圆上点（cosx,sinx)）连线的斜率（如图3）,同前面，得,用代入点法得。
X
Y
（2，2）
图2
X
O
（2，2）
Y
图1

掌握数学”双基",培养数学能力是数学教学最重要的目的.而“培养思维品质是发展智力与能力的突破口”，”学生数学能力的差异通过数学思维的深刻性、灵活性、独创性、批判和敏捷性等思维品质来体现”，“思维的深刻性是一切思维品质的基础”。数形结合有利于提高思维的深刻性，因此,中学数学教学中，数形结合不应仅仅作为一种解题方法，而应作为一种基本的、重要的数学思想，作为数学知识的精髓，作为将知识转化为能力的”桥”来学习研究和掌握应用.要将数形结合法运用于解题教学和解题实践作为解题方法的数形结合，实际上包括两方面的内容：一方面对“形”的问题，引入坐标系或寻找其数量关系用“数"的分析加以分析；另一方面对于数量关系的问题,分析其几何意义，找出其中所反映的“形”之间的关系,借助形的直观来解决.二者都是数形结合,不可偏废.数形结合法要求教师在长期的教学过程中潜移默化的让学生掌握，仅仅靠几节课专门讲数形结合法解题的例子，是不能使学生真正理解和掌握数形结合方法的。