离散数学PPT课件-4最短路径与关键路径.ppt
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1、4.带权图的最短路与关键路在实际应用中在实际应用中,一些图的边上标有数字一些图的边上标有数字,用以表示两结点用以表示两结点间的距离、或路费等等间的距离、或路费等等.然后求两点间的最短路径然后求两点间的最短路径.这是这是很有意义的问题很有意义的问题.一一.带权图带权图(赋权图赋权图)1.定义定义:设设G=,是个图是个图,如果如果G的每条边的每条边e上都标有上都标有实数实数c(e)(c(e)W),称这个数为边称这个数为边e的权的权,称此图为称此图为带权图带权图.规定规定:u,vV,边边(u,v)的权记作的权记作 c(u,v)1)c(u,u)=0 2)如果结点如果结点u与与v之间无边相连之间无边相连
2、,则则 c(u,v)=2.带权图的路长带权图的路长:结点结点u与与v之间的路长是指该路所包含的之间的路长是指该路所包含的各边权的总和各边权的总和.例如右图中例如右图中v1 v2v3 v6 的路长为的路长为12.3.带权图的两点间距离带权图的两点间距离:结点结点u与与v之间的之间的 最短路的长最短路的长称为结点称为结点u与与v之间的距离之间的距离.记作记作d(u,v).如果如果G是有向带权图是有向带权图,称为结点称为结点u到到v的距离的距离,记作记作d 例如上图中例如上图中 d(v2,v5)=24.带权图中求一个结点到各点的最短路的算法带权图中求一个结点到各点的最短路的算法:此算法是于此算法是于
3、1959年由年由E.W.Dijkstra提出的提出的.基本思想基本思想:若使若使(u0,u1,u2,un-1,un)最短最短,就要使就要使(u0,u1,u2,un-1)最短最短,即保证从即保证从u0到以后各点的路都是到以后各点的路都是最最短的短的.v6 v5 v4v1 v3 v2365112336令图令图G=,集合集合Si V Si=V-Si,令令|V|=n Si=u|从从u0到到u的最短路已求出的最短路已求出 Si=u|从从u0到到u的最短路未求出的最短路未求出Dijkstra算法算法:(求从求从u0到各点到各点u的最短路长的最短路长)第一步第一步.置初值置初值:d(u0,u0)=0 d(u
4、0,v)=(其中其中v u0)i=0 S0=u0 第二步第二步.若若 i=n-1 则停则停.否则转第三步否则转第三步第三步第三步.对每个对每个uSi 计算计算 d(u0,u)=mind(u0,u),d(u0,ui)+c(ui,u)计算计算 mind(u0,u)并用并用ui+1记下达到该最小值的那个结点记下达到该最小值的那个结点u 置置Si+1=Siui+1 i=i+1 转第二步转第二步.ui SiuSi例例.求右图中从求右图中从v1到到v6的的最短路最短路1.置初值置初值:u0=v1 d(u0,u0)=0 d(u0,v2)=d(u0,v3)=d(u0,v4)=d(u0,v5)=d(u0,v6)
5、=2.3.i=0 S0=v1 S0=v2,v3,v4,v5,v6 d(u0,v2)=mind(u0,v2),d(u0,u0)+c(u0,v2)=min,0+3=3 d(u0,v3)=mind(u0,v3),d(u0,u0)+c(u0,v3)=min,0+=d(u0,v4)=mind(u0,v4),d(u0,u0)+c(u0,v4)=min,0+5=5 d(u0,v5)=mind(u0,v5),d(u0,u0)+c(u0,v5)=min,0+=d(u0,v6)=mind(u0,v6),d(u0,u0)+c(u0,v6)=min,0+=min3,5,=3 ui+1=u1=v2,实际已求出实际已求出
6、d(u0,v2)=3,路是路是u0v2 v6 v5 v4v1 v3 v2365113336i=1 S1=v1,v2 S1=v3,v4,v5,v6 u1=v2 d(u0,u1)=3 d(u0,v3)=mind(u0,v3),d(u0,u1)+c(u1,v3)=min,3+6=9 d(u0,v4)=mind(u0,v4),d(u0,u1)+c(u1,v4)=min5,3+1=4 d(u0,v5)=mind(u0,v5),d(u0,u1)+c(u1,v5)=min,3+=d(u0,v6)=mind(u0,v6),d(u0,u1)+c(u1,v6)=min,3+=min9,4,=4 ui+1=u2=v
7、4,实际已求出实际已求出d(u0,v4)=4,路是路是u0v2v4 v6 v5 v4v1 v3 v2365113336i=2 S2=v1,v2,v4 S2=v3,v5,v6 u2=v4 d(u0,u2)=4d(u0,v3)=mind(u0,v3),d(u0,u2)+c(u2,v3)=min9,4+3=7d(u0,v5)=mind(u0,v5),d(u0,u2)+c(u2,v5)=min,4+1=5d(u0,v6)=mind(u0,v6),d(u0,u2)+c(u2,v6)=min,4+=min7,5,=5 ui+1=u3=v5,实际已求出实际已求出d(u0,v5)=5,路是路是u0v2v4 v
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