数学分析解答.doc

大连理工大学2005攻读硕士研究生考试试题
数学分析试题解答
一、 计算题
1、 求极限：
解：

2、求极限：
解：

3、证明区间（0，1）和（0，+）具有相同的势.
证明：构造一一对应y=arctanx.
4、计算积分，其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域
解：

5、计算第二类曲线积分：，方向为逆时针.
解：
6、设a>0,b>0,证明：.
证明：

二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0.
证明：
反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0.

三、 设函数f(x)在开区间（0，+）内连续且有界，是讨论f(x)在（0，+）内的一致连续性.
讨论：非一致连续，构造函数：

四、 设，讨论函数的连续性和可微性.
解：
1）连续性：连续

2）可微性：可微

五、 设f(x)在（a,b）内二次可微，求证：

证明：

六、 f(x)在R上二次可导，
，证明：f(x)在R上恰有两个零点.
证明：

七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割

证明：

八、 求级数：
解：

九、 讨论函数项级数在(0,1)和(1,+∞)的一致收敛性
讨论：
1） 0<x<1

2） x>1

十、 计算为圆锥曲面被平面z=0,z=2所截部分的外侧.
解：

十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f(1)<=1,证明：
证明：

十二、设f(x)在[0,+∞]上连续，绝对收敛，证明：

证明：

十三、设，证明：
当下极限时，级数收敛
当上极限时，级数发散
证明：（1）

（2）

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