国防科大版离散数学习题答案.doc
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1、第二章 二元关系第一章 集合习题1.11. a) 0, 1, 2, 3, 4b) 11, 13, 17, 19c) 12, 24, 36, 48, 642. a) x | x N 且x 100b) Ev = x | x N 且2整除x Od = x | x N 且2不能整除x c) y | 存在x I 使得 y = 10 x 或 x | x/10 I 3. 极小化步骤省略a) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ;若a, b A,则ab A 。或0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ;若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
2、7, 8, 9,则aa A 。或0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ;若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,则aa A 。b)0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 A ;若a, b A 且 a 0,则 ab A 。c)若a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,则 a. A ;若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,则aa A ;若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,则aa A 。或0., 1., 2., 3., 4.
3、, 5., 6., 7., 8., 9. A ;若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,则aa A ;若a A 且 a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,则aa A 。d)0, 10 A ;若a A,则1a A ;若a, b A 且 a 0,则 ab A 。e)Ev定义如下:0 Ev 或0 Ev ;若a Ev,则a+2 Ev 。Od定义如下:1 Od 或1 Od ;若a Od,则a+2 Od 。f)0 A 或 0 A ;若a A,则 A 。4. A = G;C = F;B = E。5. 题号 是否正确 a) b)(空集不含任何元素)
4、c) d) e) f) g) h) 6. 题号 是否正确 a) ( 反例:A = a;B = ;C = a ) b)( 反例:A = ;B = ;C = ) c)( 反例:A = ;B = a;C = ) d)( 反例:A = ;B = ;C = )7. 能。例如:B = A A 。8.a) ;1;2;3;1, 2;1, 3;2, 3;1, 2, 3;b) ;1;2, 3;1, 2, 3;c) ;1, 2, 3;d) ;e) ;, ;f) ;1, 2;g) ;, 2;2;, 2, 2;9.a) ,a,b,a, b;b) ,1,1, ;c) ,x,y,z,x, y,x, z,y, z,x, y,
5、 z;d) ,a,a,, a,, a,a, a,, a, a。习题1.21.a) A B = 4;b) (A B) C = 1, 3, 5;c) (A B) = 2, 3, 4, 5;d) A B = 2, 3, 4, 5;e) (A B) C = ;f) A (B C) = 4;g) (A B) C = 5;h) (A B) (B C) = 1, 2。2.a) B C 或 B E ;b) A D ;c) (A B) C ;d) C B 或C A ;e) (A C) (E B) 或 (A E) (E B);3.a) 证明:对于任意x A C,因为x A C,所以x A或x C。若x A,则由于
6、A B,因此x B;若x C,则由于C D,因此x D。所以,x B或x D,即x B D。所以,A C B D。类似可证A C B D。d)A (B C) = A (B C) = A ( B C) = (A A) ( B C)= (A B) (A C) = (A B) (A C)f)A (A B) = A (A B) = A (A B) = A ( A B)= (A A) (A B) = (A B) = A B4. a) ) 若A = B,则A B = A且 A B = A。因此,A B = (A B) (A B) = A A = 。)若A B = ,则A B = A B。又因为A B A
7、A B且A B B A B,所以A B = A = B = A B。所以A = B。5. 证明略。 a) b) c)(反例:A = a, b,B = a,C = b) d)(反例:A = a,B = a, b,C = a, c) e) f) (反例:A = a, b,B = a,C = b) g) (反例:A = a,B = a, b,C = a, c)6. a) B C A;b) A B C;c) A (B C),即B C A;d) A B C;e) (A B) (A C) = (A B) (A C) = (A B) (A C) (A B) (A C) = (A B) (A C) (A B)
8、 (A C) =(A B) (A C) ( (A B) (A C) =(A B) (A C) ( ( A B) (A C) =(A (B C) ( A (B C) =(A (B C) (B C) =A ( (B C) (B C) ) =A (B C) 因此,若(A B) (A C) = A,则A (B C) = A。所以,A (B C)。f) 由上题,(A B) (A C) = A (B C) 因此,若(A B) (A C) = ,则A (B C) = 。g) A = B;h) A = B = ;i) A = B;j) B = ;k) B A 或 A B。7. a) 对于任意x (A) (B)
9、,则x (A) 或x (B)。若x (A),则x A。因为A A B,所以,x A B。因此,x (A B)。若x (B),则x B。因为B A B,所以,x A B。因此,x (A B)。所以,总有x (A B)。因此,(A) (B) (A B)。b) 对于任意x (A) (B),则x (A) 且x (B)。x (A),因此x A。x (B),因此x B。所以,x A B。因此,x (A B)。所以,(A) (B) (A B)。8. a) = , = ;b) , = ,, = ;c) a, b, a, b = a, b,a, b, a, b = 。9. 证明:i) 若x R0,则x R且x
10、1。所以对于任意iI+均有x 1+1/i。即对于任意iI+均有x Ri。所以,x。ii) 若x ,则对于任意iI+均有x Ri。所以对于任意iI+均有x 0。首先,甲扳倒r根,然后每当乙扳倒x(1 x m)根,因为1 (m+1) x m,所以此时甲可扳倒(m+1) x根,故甲总能获胜。证明:对q(即n除以m+1的商)用第一归纳法。i)当q = 0时,因为n = r且m r 1,所以甲可一次将r根全部扳倒,则甲获胜。ii)对任意的k 0,假设当q = k时命题为真,则当q = k+1时,即存在r使得n = (m+1) (q+1) + r,m r 0 ,由于此时甲可扳倒r根,然后乙只能扳倒x(1
11、x m)根,此时剩下n = (m+1)q+(m+1)-q根, 因为1 (m+1) x m,则根据归纳假设可知甲总能获胜。即当q = k+1时命题也为真。由i) ii)可知,对于任意q 0均有甲总能获胜。5. 证明:用第一归纳法对于每个i i0,用Q(i)表示下列命题:对于任意j j0,P (i, j)皆真。下面验证:Q(i)满足第一归纳法的条件。i)Q(i0)为真,因为(对j用第一归纳法):a) P(i0, j0)为真;b) 若P(i0, j)为真,则P (i0, j+1)为真;由归纳法可知,Q(i0)为真。ii)若Q(i)为真(i i0),即对于任意i i0,j j0,P (i, j)为真。
12、则对于任意j j0,P(i+1, j)为真,即Q (i+1)为真。由i)和ii)可知,对于任意i i0,Q (i)皆真。所以,对于任意i i0,j j0,P (i, j)为真。6.证明:假设有n N使n n ,即 n n ,故n+ = nn n ,同时n n+ ,所以n = n+。矛盾!(与皮亚诺公理矛盾)10. 证明:假设有m N使n m,则由“”定义可知n m,所以由习题7有n m。因为n m 且n m,所以 nn m,即n+ m。而m n+,则由“”定义可知m n+,由习题7有m n+。n+ m与m n+矛盾,所以假设不成立,即不可能有m N使n m n+。习题1.41. a)A 1 B
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