数学手册第二章初等几何图形的计算与作图3.doc

§3 实用几何作图

一、 正多边形作图

［已知边长作正三角形] 已知AB等于边长.分别以A，B为圆心，AB为半径画弧交于C，连接AC，BC，即为所求正三角形（图2.3）.

[已知边长作正方形] 已知AB等于边长.以AB外任一点O为圆心,OA为半径画圆交AB于E.连接EO并延长交圆于F,连接AF并延长截取AD=AB。分别以B，D为圆心，AB为半径画弧交于C,连接BC,DC，□ABCD即为所求正方形(图2.4).

[已知外接圆作正五边形] 过圆心O作互相垂直的直径AB,CD，平分OB于E，以E为圆心，EC为半径画弧交OA于F，以CF为半径在圆周上顺次截段并连接各点，即为所求正五边形（图2。5).也可参考正十边形作法（见图2.11中的虚线）.

［已知边长作正五边形] 已知AB等于边长.以A，B为圆心，AB为半径画两圆交于C，D,连接CD。以D为圆心，AB为半径画圆，交CD于E，交A圆于F，交B圆于G,连接FE，GE，并延长交B，A圆于H，I.分别以H，I为圆心，AB为半径画弧交于J，连接JI，IA，BH，HJ，连同AB即为所求正五边形（图2.6）.

［已知外接圆作正六边形］ 以外接圆半径在其圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正六边形(图2。7）。

[已知边长作正六边形］ 已知AB等于边长，分别以A,B为圆心，AB为半径画弧交于O，以O为圆心,AB为半径画圆。再按上法可作出所求正六边形（图2.8）.

[已知外接圆作正七边形（近似作法)] 以圆周上任一点A为圆心，以同圆半径为半径画弧交圆周于B，C，连接BC，AO，交于D.以BD为半径(作图时应略大于BD)在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正七边形(图2.9）.

［已知外接圆作正八边形］ 过圆心O作互相垂直的直径AB，CD。分别以A，B，D为圆心,任意长为半径画弧交于E，F,连接EO，FO，并延长交圆于G，H，I，J,顺次连接八点，即为所求正八边形(图2.10)。

［已知外接圆作正十边形］ 过圆心O作互相垂直的直径AB,CD，以OB为直径画圆E，连接EC交E圆于F。以CF为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正十边形(图2.11).

［已知外接圆作任意正多边形（近似作法）] 将直径AB n等分(n为边数），以A，B为圆心，AB为半径画弧交于C，连接C与第二个分点E,并延长交圆于D，以AD为半径在圆周上顺次截段，并连接各点，即为所求正n边形(图2.12中为正九边形）。

二、 椭圆作图

已知长短轴（2a,2b)作椭圆，其方法如下：

[轨迹法] 作长轴AB=2a，短轴CD=2b，相互垂直平分交于O，以D为圆心，a为半径画弧交AB于.在两点钉上钉子，把一长度为2a的线的两端固定在钉子上,再用铅笔拉紧线，移动铅笔所画出的曲线即为椭圆(图2。13)。

［焦点法] 同轨迹法一样，先画出点，将AB8等分，中间各点为。分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心,为半径画弧，两两相交于和.再将这些交点连同A，B一起用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图2.14).

［压缩法] 用长短轴为直径画出两个同心圆，并将圆周12等分（小圆分点1～12，大圆分点对应为）.连接和1－11，2－10,4－8,5－7，并延长，将与1－11，5－7;与2－10，4－8；与1－11，5－7;与2－10,4－8的交点（共8个)，连同四个顶点一起，用光滑曲线顺次连接，即近似于所求椭圆(图2。15）。

[圆弧法] 作长轴AB=2a，短轴CD=2b，相互垂直平分交于O，作OE=OA,以C为圆心,CE为半径画弧交AC于F，作AF的垂直平分线交AB于G，交CD延长线于I.作OH=OG，OJ=OI。分别以I,J为圆心，IC为半径画弧,又分别以G，H为圆心，GA为半径画弧，则四段弧相连即近似于所求椭圆（图2。16）.

三、 圆弧放样法

在土木建筑工程中，由于受各种施工条件的限制,不能用圆规一转就画出圆弧，可采用下面方法在施工现场直接放大样.这种方法可在有限平面内放出任意大半径的圆弧实样，又便于工人同志掌握.
[已知弦长和拱高作圆弧]
方法
作AB等于弦长，作CO垂直平分AB，并使CO等于拱高，连接BC，作BC的中垂线DE.作的平分线交DE于E，在ED延长线上取DF=DE，则F为的分点.由对称性，F的对称点也是的分点。重复上述步骤，可得的各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接,即为所求圆弧（图2.17).此方法概念明确，步骤较少,占地最少。
方法
作AB等于弦长，作CO垂直平分AB，并使CO等于拱高。作BC的中垂线DF，截OE=CD.过E作AB的垂线交DF于F，则F为的分点。由对称性,F的对称点也是的分点。重复上述步骤，可得的各分点，将各分点以光滑曲线顺次连接,即为所求圆弧（图2.18)。此方法步骤最少。

［已知弦长和圆弧上任一点作圆弧] 已知AB为弦长，C为已知圆弧上一点.以BC为边作角。再以AC为边按相同方向作角.上的点.当取a为一系列值时，便得到圆弧上一系列点,将各点以光滑曲线顺次连接，即为所求圆弧（图2.19）。此方法最适于采用经纬仪、罗盘仪来测放半径很大的圆弧.

四、 几何作图问题

所谓初等几何作图问题，是指使用无刻度的直尺和圆规来作图。若使用尺规有限次能作出几何图形,则称为作图可能，或者说欧几里得作图法是可能的，否则称为作图不可能.
很多平面图形可以用直尺和圆规作出,例如上面列举的正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等.而另一些就不能作出，例如正七边形、正九边形、正十一边形等，这些多边形只能用近似作图法。如何判断哪些作图可能,哪些作图不可能呢？直到百余年前，用代数的方法彻底地解决了这个问题,即给出一个关于尺规作图可能性的准则：作图可能的充分必要条件是，这个作图问题中必需求出的未知量能够由若干已知量经过有限次有理运算及开平方运算而算出。几千年来许多数学家耗费了不少的精力，企图解决所谓“几何三大问题”：
立方倍积问题，即作一个立方体，使它的体积二倍于一已知立方体的体积。
三等分角问题，即三等分一已知角。
化圆为方问题，即作一正方形，使它的面积等于一已知圆的面积.
后来已严格证明了这三个问题不能用尺规作图。