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数学思想方法同步讲坐 第1讲 函数方程是一类新题

在考试大纲上,是找不到“函数方程”这个考点的!
从内容上看，在“函数考章”中有5个考点:（1）映射。 函数。 函数的单调性、奇偶性。(2）反函数。互为反函数的函数图像间的关系. (3）指数概念的扩充。 有理指数幂的运算性质. 指数函数. （4）对数。 对数的运算性质。 对数函数。 (5)函数的应用.
从题型上看，常规分类是：选择题,填空题,解答题三类. 也不见函数方程的题型.
经常提到的数学思想：（1）函数方程思想，（2）数形结合思想，（3)分类讨论思想，（4）化归与转化思想等等，高考命题难道可按数学思想分类？
存在决定意识。 高考试题的客观存在,决定了人们在试题分类上认识的深化.

【例1】 (2006年陕西卷·12）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密)，接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a,b，c，d对应密文a+2b，2b+c,2c+3d，4d，例如，明文1,2，3，4对应密文5，7,18，16。当接收方收到密文14，9,23,28时,则解密得到的明文为 （ ）
A。4，6，1，7 B。7,6,1，4 C.6，4，1，7 D。1,6,4,7

【分析】 这是个什么问题？人们往往用“新题型”三字将其归类，或说详细点，这是一种“信息加密问题"-—有的还很满足这种分类。 殊不知,这种归类是一种“情境归类"或“形式分类”，没有归类到“数学内容”或“数学思想"的实质与高度上来。
从数学的角度审视“信息加密"，这是一个从集合A（明文）到集合B（密文)的映射问题. 因为集合A、B都是数集，所以加密问题是个“函数问题”，解密问题是对应的“反函数问题”.

【解析】本题是信息安全与密码问题. 欲求明文a,b,c，d，需建立关于a，b，c，d的四个方程.由于收到的密文是14，9,23,28时，由加密规则可得方程组
,解得，
此即为解密得到的明文，故选C．

【点评】 本题在考函数，在考哪一个具体函数?本题在考方程,在考哪一个具体方程？都不“具体”，本题是在考一种数学思想。
所谓“函数方程思想"，就是函数与方程的“统一思想” 。
本题中,加密是“函数建模”，解密是“函数还原”，前者是明文到密文的函数式，后者是密文到明文的方程（组）.
初看解析，这似乎是一个单一的“方程问题”。那么试问:如果没有（背后的）函数，方程从何而来？
如果把“函数问题”看作原问题，那么“方程问题”则为原问题的逆问题。 如果函数与反函数是一个问题的两个方面，那么函数与方程这两个方面也统一在同一个整体之中。

【链接】 为了看清方程与函数的“平等地位",我们可以从“加密函数式Ⅰ”中解出它的反函数式，即得“解密函数式Ⅱ”：
（Ⅰ) （Ⅱ)
当密文为=14，=9，=23，=28时，利用函数式(Ⅱ），可直接求得明文为a=6，b=4，c=1,d=7。
事实上，信息安全部门在制作“密码本”时，“加密本"与“解密本"是同时“出版”的. 说明了，这里的工作是把“函数问题”与“方程问题”视作对立的、一体的.

【启示】 高考命题，为什么“逆向问题”那么多？总在要你去待定、去假设、去探求？
因为命题人考虑到, 顺向考查只是一个单向,而逆向则是双向考查。 这就是高考命题“热中逆向问题”的原因。
逆向问题虽应从方程角度思考，但如果离开了正向的函数问题，则这个方程是盲目的、缺乏思想高度的. 正是在这一点上,须要研究“函数方程的互逆性和统一性”.

【例2】 （2007年安徽·21）某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此,历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么,在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以Tn表示到第年末所累计的储备金总额．
（Ⅰ）写出Tn与的递推关系式;
（Ⅱ）求证：,其中是一个等比数列，是一个等差数列．
【分析Ⅰ】Tn与都是数的集合，找它们的关系就是找函数关系，因此本题是一个求函数式的问题.
函数式是一个等式，求等式就是“布列方程”，因此求函数式是一个列方程的过程.

【解析Ⅰ】 第年末所累计的储备金总额
= 上年末储备金总额的（1+r）倍 + 当年交纳的储备金
用符号表示就是:
．
这就是所求的Tn与的递推关系式
【点评Ⅰ】 本题是用“布列方程求函数式”的典型. 第一步，用Tn – 1作“未知数”;第二步，用含未知数Tn – 1的代数式来表示其他“未知量”：Tn – 1（1+r)+an；第三步，用列代数式时没有用过的等量关系组织等式：。
这个等式就是所求的方程，即本题所求的函数式.

【分析Ⅱ】的意思是，数列Tn可写成数列An与数列An的和。 为此可考虑先求出数列Tn的通项公式。

【解析Ⅱ】 由递推式T1=a1，Tn= Tn – 1（1+r)+an得关于T1，T2，…,Tn的n元方程组：

消T1，得T2= a1 (1+r）+a2；
消T2，得T3= a1 （1+r）2+a2 （1+r）+a3；
……
消Tn – 1，得Tn= a1 (1+r)n – 1 +a2 (1+r） n – 2 +…+an – 1 (1+r）+an。

【插话】T1,T2，…，Tn – 1 已全部消去，Tn已经求出。 以下只是一个对Tn表达式化简的问题。 仍可按“函数方程问题"来处理.

【续解Ⅱ】 将上面Tn的表达式看作方程，将方程两边同乘以(1+r）得新方程,两方程联立

（2)–(1）得
rTn = a1（1+r)n+（a2+a1) （1+r）n – 1 +…+(an – a n – 1 ）(1+r） – an
= a1(1+r）n+ d[（1+r)n – 1+（1+r）n – 2 +…+(1+r） ］ – an
．
即．
如果记，，
则．
其中是以为首项，以为公比的等比数列;是以为首项，为公差的等差数列．

【点评Ⅱ】本题的第（Ⅰ)问是布列方程的问题,第（Ⅱ）问是方程组求解的问题。
把函数式Tn= Tn – 1(1+r)+an看作含T1、T2、…、Tn的n方程组，并用消元法从中解出Tn，是函数与方程的精彩转换.

【小结】 本题的知识载体是“特殊的”数列内容:等差数列与等比数列、由数列的递推式求数列的通项公式等等。
本题的思想则是“普遍的”函数方程思想. 本题以函数设问，用方程作答，函数与方程的视角随机换位，按其所需。

【例3】（2007年重庆卷第22题Ⅱ）如图1，（Ⅰ）(求得)椭圆的方程。
（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，
使，证明
图1
为定值，并求此定值.

【说明】 心里有什么，眼里就看到什么！对于本题——
心里有函数的人，首先看到了函数：|FP1|、|FP2|、|FP3|都是角α=∠xFP1的函数.
心里有方程的人，首先看到了方程：|FP1|cosα= x – c （ x是点P1的横坐标)。
心里既有函数又有方程的人，不仅同时看到了本题中函数与方程，而且还看到了函数与方程的关系。

【解析】设（自变量）∠xFP1=α,于是有 ∠xFP2 =，∠xFP3 =。
设|FP1| = r1，由图2可得|FM| = r1cosα，
由e = 得 |P1Q| = 2r，于是有（方程)：
r1cosα+2r1 = 12 – 3 = 9，从而有（函数):
r =,继而有(方程）：
图2
同理有
于是有（函数方程的统一体）：
=

【小结】所谓“函数方程的普遍性”是指，当知识载体——如本题的椭圆载体一旦更换（成了例1的信息加密、例2的数列推递）之后,只要还是关于数集与数集、变量与变量间的“关系问题"，无不是函数方程的领域。
显然,函数方程所涉及的不是一个具体的知识内容，而是一种有指导性、带全局性的数学思想。 因此，高考中的“函数方程考题"是跨考点、跨板块、跨题型的、考查数学思想的深层试题。

对应训练
1. 已知,(a、b、c∈R），则有（ ）
（A） （B） (C） (D) ,

2。 二项式的展开式中常数项为 （用数字作答）.

3。 已知锐角三角形ABC中,sin（A+B)=,sin（A—B)=.
（Ⅰ）求tanA=2tanB；
(Ⅱ)设AB=3，求AB边上的高.

对应答案
1. 解析 法一:依题设有 a·5－b·＋c＝0
∴是实系数一元二次方程的一个实根；
∴△＝≥0 ∴ 故选（B)
法二：去分母，移项,两边平方得：
≥10ac＋2·5a·c＝20ac,∴ 故选(B）
点评 解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰,水到渠成。

2. 本题考查二项展开式的通项公式和幂运算。解题的切入点是正确写出通项公式，并正确化简.根据二项展开式的通项公式Tr+1=C得
Tr+1=C=C
=CC
=（-1）rC
要使Tr+1为常数项，只需（-1)rC中x的指数为0，即=0,解得r=4,代回通项公式,得常数项为 （-1)4C
在解答过程中正确运用二项展开式得通项公式是解题的关键，而通过方程=0得出r=4，则可得到常数项在展开式中的位置，进而求出常数项.

3. 分析 本题是一个三角函数的证明与计算问题。分析题目后发现，已知条件比较复杂，因此首要的任务是变换已知条件,使之出现含有sinA,cosA，sinB,cosB的解析式。
解析 由已知两个等式，得
sinAcosB+cosAsinB=，
sinAcosB-cosAsinB=.
研究这两个等式发现，左侧的两个解析式只相差一个符号。实际上，可把sinAcosB看成一个未知数，把cosAsinB看成另一个未知数,于是上面两式是关于这两个未知数的一个方程组，解这个方程组便可求出
sinAcosB=
到此便可以完成第（Ⅰ)问的证明，将上两式左右两边分别相除，便可得到tanAcotB=2，即tanA=2tanB.
在第（Ⅱ）问中,可画出图形帮助我们进行研究，如右图,从图中并借助已知条件不难发现，应该先求出tanA和tanB的值。
由sin(A+B)=及<A+B<,可求得tan(A+B)=—，
展开后得

为求出tanA和tanB的值，还应再有一个关于tanA、tanB的方程,
这个方程正是第(Ⅰ）问所证的结论：
tanA=2tanB.
解由这两个方程组成的方程组，求得

下面再解直角三角形，求CD就容易了。

由AB=3可解得CD=2+.
再回忆以上的分析和求解过程，我们不难发现方程思想贯穿了解答的全过程.第（Ⅰ）问的证明过程中,求解了一个二元一次方程组,既体现了方程的思想，又使用了换元法；第（Ⅱ）问的求解过程中，仍旧是列出一个二元方程组，然后再求出tanA和tanB的值，最后一步由AB求CD时,也是列出一个关于CD的方程，然后再求解.可以认为，本题是突出体现方程思想的一道绝妙好题，它也提示我们，对于三角求值、计算、证明问题,要把方程思想放在解决问题的首选。