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题目 浅谈对称在数学中的应用

班级 永嘉县实验中学九（16）班

姓名 肖 扬

指导老师 李 西 强

联系电话 ______________________

浅谈对称在数学中的应用
对称是一种客观存在，大千世界，许多事物都具有某些对称性，如：一朵红花，一片绿叶，一只色彩斑斓的蝴蝶等。对称给人们以和谐均衡的美感。
对称又是一个数学概念，初中学生所熟悉的有代数中的对称式，几何中的轴对称、中心对称、旋转对称等，更一般情况是,许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称。
对称更是一种思想方法，运用对称性解决问题，既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快,又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力
1． 运用对称性解几何说明题
例1．如图1,在菱形ABCD中,E、F分别是AB、AD边上的动点，且AE=AF.试说明在运动过程中，△CEF是否始终是等腰三角形？
解法1:通过求证△FDC≌△EBC解答。（解答过程省略）
解法2：因为四边形ABCD是菱形，所以AB与AD关于AC对称
又因为动点E、F分别在AB、AD上，且AE=AF
所以点E与点F始终关于AC对称，所以EC与FC始终关于AC对称，
所以运动过程中始终有EC=FC,所以△CEF始终是等腰三角形.
［说明]对于此题，大部分学生能想到运用全等来解答，但不一定想到利用对称性解答,利用对称思想方法解题，可以拓展学生解题思路.
例2．如图2，在△ABC中,AB=AC，AD是BC边上的高，点P在△ABC内部.试说明:∠APB＞∠APC。
解：作点P关于AD的对称点P1，
连接PP1并延长交AC于点E，
因为△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
AD⊥BC于点D，所以点B与点C关于AD对称,
所以点B与点C关于AD对称,
又因为点P与点P1关于AD对称，点A在AD上，
所以△ABP与△ACP1关于AD对称，所以∠APB=∠AP1C
因为∠EP1C是△PP1C的外角，所以∠EP1C＞∠EPC，
同理∠EP1A＞∠EPA，所以∠AP1C＞∠APC，
所以∠APB＞∠APC。
例3．如图3,在△ABC中,∠C=90°，点M为AB中点,点E、F分别在AC、BC上，
且∠EMF=90°，试说明：AE2+BF2=EF2.
解:如图3，延长EM到点D，使DM=EM，连接BD、FD，
因为FM⊥ED,且MD=ME，所以由轴对称性得EF=DF，
因为AB、ED互相平分于点M，
所以△AME和△BMD关于点M成中心对称，
所以AE=BD，∠A=∠DBA，又因为Rt△ABC中，∠A+∠ABC=90°,
所以∠DBA+∠ABC=90°，即∠DBF=90°
在Rt△BFD中，∠DBF=90°，所以BD2+BF2=FD2，所以AE2+BF2=EF2．
[说明]运用对称性解几何说明题，不仅要充分利用几何图形的对称性，而且还要根据题设条件进行轴对称变换、中心对称变换、旋转对称变换，通过对称变换创造对称性。
2． 运用对称性求最值
例4。如图4，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M、N分别是AB、BC的中点，MP+NP的最小值是＿＿＿。
解题思路:M、N为AC同侧两定点,四边形ABCD是菱形。

所以AD的中点H与点M关于AC对称，
所以HP=MP，则MP+NP=HP+NP，根据两点间线段最短可知，
当点P在HN与AC的交点E处时，MP+NP的值最小，
根据平行四边形的相关知识可求出MP+NP的最小值为1。
例5。如图5，平面直角坐标系中，有点A（0，3），直线l：x=3,若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先达到 x 轴上某点（设为点 E ),再达到直线 l 上某点（设为点 F ），最后运动到点 A 。求:点 P 运动的最短路径最长。
解题思路:作点M关于x轴对称的点M1，点A关于直线l对称的点A1(6，3）,由对称性可知ME=M1E，AF=A1F，连接M1A1,根据轴对称性及两点间线段最短可知,当点E、F分别在M1A1与x轴、直线l的交点上时,点P的运动总路径最短；由点M1、A1两点坐标可求出直线M1A1点解析式,

从而求出点E坐标、点F坐标，由勾股定理可求出最短总路径的长。
［说明］在探求几何最值问题时，往往通过轴对称变换将问题转化，从而可以利用两点间距离最短来解决.另外轴对称变换也是解决弹子游戏、平面镜成像、光线的反射等问题的主要方法。
例6。已知x＞0，y＞0，且x+y=2，求xy的最大值。
解： 由已知条件x+y=2是定值，则x大y小,反之y大x小，即x、y是对称的。
令x=1—k,y=1+k，则xy=（1-k）(1+k)=1—k2，
所以当k=0时，即x=y=1时xy有最大值1。
[说明］根据x、y是对称的,令x=1—k,y=1+k，是解决这个问题最巧妙的对称思想方法.
3． 运用函数图象的对称性解题
抛物线与双曲线都是对称性图形,巧妙地应用它们的对称性，可以优化解题过程。
例7。已知某抛物线经过点A(-2,0)，B(-3,），C（5， ），B、C两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点。求这个抛物线的解析式.
解法一：设一般式求解（解题过程省略）。
解法二：因为B、C两点是抛物线上的两个关于对称轴对称的点，所以此抛物线的对称轴为直线x=1.
又因为此抛物线与x轴交于点A（-2，0），由对称性可知此抛物线与x轴交于另一个点D(4,0）。
据此可设此抛物线的解析式为y=a（x+2)（x-4)，将C点坐标代入求得a的值.所以这个抛物线的解析式为y= x2-x-4。
[说明]显然解法二的计算简捷，思维活跃，能培养学生思维能力.
例8．如图6，双曲线y=－ 与直线y=kx（k＜0＝交于点A、B，过点A作AC垂直y轴于点C，求S△ABC。
解：因为反比例函数的图象关于原点对称，
直线y=kx过原点,所以A、B两点必关于原点对称。
所以OA=OB,所以S△AOC=S△BOC 。
设点A坐标为（a，b），则ab=-6。由题意得AC=|a|,OC=|b|，
所以S△AOC= AC×OC= ｜ab｜=3。所以S△ABC=2,S△AOC=6。
[说明]对于此题，如果只从交点考虑，问题就难以下手。运用双曲线的中心对称性分析此题，问题就迎刃而解了.
4． 运用对称性分析解决其它问题
对称不仅包括几何图形中的对称，而且包括研究对象在关系、地位等同彼此相对又相称。
例9。四边形ABCD是正方形,点E是正方形ABCD所在平面上的点，试说明：点E与正方形相邻两顶点能否构成等边三角形？若能，有几个？若不能,请说明理由.

解题思路： 当点E与A、B构成等边三角形时，由轴对称性可知，点E应在边AB的中垂线上,且∠EAB=60°，满足这一条件的点E有：在正方形ABCD内部，在正方形ABCD外部两种情形。同样点E也可以分别与B、C；C、D；A、D构成等边三角形,故共有8个。
［说明]这一问题,有一部分学生会漏解。笔者体会到：“点E在正方形内部"与“点E在正方形外部”地位相同，只要想到其中一种情况就应想到另一种;同样“点E与B、C构成三角形”、“点E与C、D构成三角形”、“以E为A、B构成三角形"及“点E与B、D构成三角形”这四者的地位也是等同的，因此想到其中一种情况就应联想到其它三种情况，这样就会避免漏解现象。

综上所述，在解题过程中,如果注意到对称性并恰当地运用对称性，不仅使复杂繁琐的问题得以简化，而且可以拓展解题的思路，激发创造性思维,使解决问题的能力得到培养等.因此，在平时，学生要充分挖掘数学形式或图形的对称性，自觉地运用对称性特征去分析、解决具体问题，培养运用对称思想方法解决数学问题的能力。